На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $AB=AK$. Отрезок $AK$ пересекает биссектрису $CL$ в её середине. Найдите острые углы треугольника $ABC$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AD=AB+CD$. Оказалось, что биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $BC$. Докажите, что биссектриса угла $D$ также проходит через середину $BC$.
Подробнее
Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что $AB\parallel CD$, $BC\parallel AD$, $AC\parallel DE$, $CE\perp BC$. Докажите, что $EC$ - биссектриса угла $BED$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ некоторая точка диагонали $AC$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AB$ и $CD$, а некоторая точка диагонали $BD$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AD$ и $BC$. Докажите, что $ABCD$ - прямоугольник.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны. Точка $D$ внутри треугольника такова, что угол $ADC$ вдвое больше угла $ABC$. Докажите, что удвоенное расстояние от точки $B$ до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом $ADC$, равно $AD+DC$.
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна диагонали $AC$ и перпендикулярна стороне $AD$, а диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. На стороне $AD$ взята такая точка $K$, что $AC=AK$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $BK$ в точке $M$. Найдите угол $ACM$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ равны, $CD=4BC$, а биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $CD$. Чему может быть равно отношение $AD:AB$?
Подробнее
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$, в котором $AB=CD$, выбрана точка $P$ таким образом, что сумма углов $PBA$ и $PCD$ равна $180^{\circ}$. Докажите, что $PB+PC\lt AD$.
Подробнее
Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведении противолежащих сторон.
Подробнее
Два миллиона отмеченных точек целиком расположены внутри окружности, диаметр которой равен 1 см. Существует ли прямая, по каждую сторону от которой находилось бы ровно по одному миллиону таких точек?
Подробнее
Окружность радиус а 15 пересекается с окружностью радиуса 20 под прямым углом. Рассмотрим две области, которые получатся после удаления из соответствующих кругов их общей части. .Чему равна разность их площадей?
Подробнее
Периметры некоторого равностороннего треугольника и правильного шестиугольника совпадают. Чему равно отношение их площадей?
Подробнее
Некий пират решил спрятать свои сокровища на берегу необитаемого острова. Рядом находились два валуна $A$ и $B$, а подальше от берега росли три кокосовые пальмы $C_{1}, C_{2}, C_{3}$. Встав у $C_{1}$, пират отложил отрезок $C_{1}A_{1}$, равный и перпендикулярный отрезку $C_{1}A$, направив его от прямой $C_{A}A$ в сторону, противоположную той, где был треугольник $AC_{1}B$. Аналогичным образом он отложил отрезок $C_{1}B_{1}$ равный и перпендикулярный отрезку $C_{1}B$ и направленный также от треугольника $AC_{1}B$. Затем он отметил $P_{1}$, точку пересечения $AB_{1}$ и $BA_{1}$. Став последовательно в $C_{2}$ и $C_{3}$, он отметил подобным образом точки $P_{2}$ и $P_{3}$ и, наконец, зарыл сокровища в центре круга, описанного вокруг треугольника $P_{1}P_{2}P_{3}$.
Вернувшись через несколько лет на остров, пират обнаружил , что после сильного урагана от кокосовых пальм не осталось и следа. Как ему отыскать свои спрятанные сокровища?
Подробнее
Три веревки привязаны к трем гвоздикам, вбитым в доску $A$, и переплетены между собой, как показано на рисунке. К их свободным концам требуется привязать новые три веревки, концы которых (их также разрешается переплетать между собой) следует прикрепить к трем гвоздикам на доске $B$ таким образом, чтобы, разведя после всех манипуляций доски $A$ и $B$ в стороны, получить три параллельно натянутые веревки. Как это можно сделать?
Подробнее
Покажите геометрически, что среднее геометрическое $G$ двух чисел $a$ и $b$ равно среднему пропорциональному между средним арифметическим $A$ и средним гармоническим $H$ этих же чисел.
Подробнее
