Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12992
2023-05-08 
Дан треугольник $ABC$ и построена вневписанная окружность с центром $O$, касающаяся стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Точка $O_{1}$ симметрична точке $O$ относительно прямой $BC$. Найдите величину угла $A$, если известно, что точка $O_{1}$ лежит на описанной около треугольника $ABC$ окружности.
Решение:
Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Вписанные углы $BAC$ и $BO_{1}C$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
$\angle BOC=\angle BO_{1}C=\angle BAC=\alpha.$
С другой стороны,
$\angle BOC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$
(см. задачу 7881). Из уравнения
$\alpha=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$
находим, что $\alpha=60^{\circ}$.
Дан треугольник $ABC$ и построена вневписанная окружность с центром $O$, касающаяся стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Точка $O_{1}$ симметрична точке $O$ относительно прямой $BC$. Найдите величину угла $A$, если известно, что точка $O_{1}$ лежит на описанной около треугольника $ABC$ окружности.
Решение:
Обозначим $\angle BAC=\alpha$. Вписанные углы $BAC$ и $BO_{1}C$ опираются на одну и ту же дугу, поэтому
$\angle BOC=\angle BO_{1}C=\angle BAC=\alpha.$
С другой стороны,
$\angle BOC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$
(см. задачу 7881). Из уравнения
$\alpha=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$
находим, что $\alpha=60^{\circ}$.
