Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12987
2023-05-08 
Прямая, проходящая через вершину $A$ квадрата $ABCD$, пересекает сторону $CD$ в точке $E$, а прямую $BC$ в точке $F$. Докажите, что
$\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}.$
Решение:
Обозначим $\angle AFB=\angle DAE=\varphi$. Из прямоугольных треугольников $DAE$ и $AFB$ получаем, что
$AE=\frac{AD}{\cos\varphi}=\frac{AB}{\cos\varphi},~AF=\frac{AB}{\sin\varphi}.$
Следовательно,
$\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{\cos^{2}\varphi}{AB^{2}}+\frac{\sin^{2}\varphi}{AB^{2}}=\frac{\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi}{AB^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}.$
Прямая, проходящая через вершину $A$ квадрата $ABCD$, пересекает сторону $CD$ в точке $E$, а прямую $BC$ в точке $F$. Докажите, что
$\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}.$
Решение:
Обозначим $\angle AFB=\angle DAE=\varphi$. Из прямоугольных треугольников $DAE$ и $AFB$ получаем, что
$AE=\frac{AD}{\cos\varphi}=\frac{AB}{\cos\varphi},~AF=\frac{AB}{\sin\varphi}.$
Следовательно,
$\frac{1}{AE^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}=\frac{\cos^{2}\varphi}{AB^{2}}+\frac{\sin^{2}\varphi}{AB^{2}}=\frac{\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi}{AB^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}.$
