Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12941
2023-05-08 
Точка $Q$ расположена внутри остроугольного треугольника $ABC$. Известно, что
$\angle QAC\geq\angle QAB,~\angle QBA\geq\angle QBC,~\angle QCB\geq\angle QCA.$
Докажите, что $Q$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Решение:
Пусть $M$, $N$ и $K$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $Q$ на стороны $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Отрезок $QA$ - общая гипотенуза прямоугольных треугольников $AMQ$ и $AKQ$, а $\angle QAK\geq\angle QAM$, следовательно,
$QK=QA\sin\angle QAK\geq QA\sin\angle QAM=QM.$
Аналогично докажем, что $QM\geq QN$ и $QN\geq QK$. Значит, $QM=QN=QK$, а т.к. точка $Q$ лежит внутри треугольника $ABC$, то $Q$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Точка $Q$ расположена внутри остроугольного треугольника $ABC$. Известно, что
$\angle QAC\geq\angle QAB,~\angle QBA\geq\angle QBC,~\angle QCB\geq\angle QCA.$
Докажите, что $Q$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Решение:
Пусть $M$, $N$ и $K$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $Q$ на стороны $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Отрезок $QA$ - общая гипотенуза прямоугольных треугольников $AMQ$ и $AKQ$, а $\angle QAK\geq\angle QAM$, следовательно,
$QK=QA\sin\angle QAK\geq QA\sin\angle QAM=QM.$
Аналогично докажем, что $QM\geq QN$ и $QN\geq QK$. Значит, $QM=QN=QK$, а т.к. точка $Q$ лежит внутри треугольника $ABC$, то $Q$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
