Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12953
2023-05-08 
Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин квадрата, до произвольной точки вписанной в него, постоянна. Чему равна эта сумма, если сторона квадрата равна $2a$?
Решение:
Поместим начало координат в центр $O$ квадрата $ABCD$ (см. рис.), а оси $Ox$ и $Oy$ направим по лучам, параллельным соседним сторонам квадрата. Тогда уравнение окружности, вписанной в квадрат, имеет вид $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ (см. задачу 7369), а вершины квадрата имеют координаты $A(a;a)$, $B(-a;a)$, $C(-a;-a)$, $D(a;-a)$.
Пусть $M(x;y)$ - произвольная точка на окружности, вписанной в квадрат. Тогда $x^{2}+y^{2}=a^{2}$. Следовательно (см. задачу 7368),
$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}=((x-a)^{2}+(y-a)^{2})+((x+a)^{2}+(y-a)^{2})+((x+a)^{2}+(y+a)^{2})++((x-a)^{2}+(y+a)^{2})=4x^{2}+4y^{2}+8a^{2}=4(x^{2}+y^{2}+2a^{2})=4(a^{2}+2a^{2})=12a^{2}.$
Что и требовалось.
Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин квадрата, до произвольной точки вписанной в него, постоянна. Чему равна эта сумма, если сторона квадрата равна $2a$?
Решение:
Поместим начало координат в центр $O$ квадрата $ABCD$ (см. рис.), а оси $Ox$ и $Oy$ направим по лучам, параллельным соседним сторонам квадрата. Тогда уравнение окружности, вписанной в квадрат, имеет вид $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ (см. задачу 7369), а вершины квадрата имеют координаты $A(a;a)$, $B(-a;a)$, $C(-a;-a)$, $D(a;-a)$.
Пусть $M(x;y)$ - произвольная точка на окружности, вписанной в квадрат. Тогда $x^{2}+y^{2}=a^{2}$. Следовательно (см. задачу 7368),
$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}=((x-a)^{2}+(y-a)^{2})+((x+a)^{2}+(y-a)^{2})+((x+a)^{2}+(y+a)^{2})++((x-a)^{2}+(y+a)^{2})=4x^{2}+4y^{2}+8a^{2}=4(x^{2}+y^{2}+2a^{2})=4(a^{2}+2a^{2})=12a^{2}.$
Что и требовалось.
