Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12948
2023-05-08 
Внутри вписанного четырёхугольника $ABCD$ существует точка $K$, расстояния от которой до сторон четырёхугольника пропорциональны этим сторонам. Докажите, что $K$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$.
Решение:
Множество точек, расстояния от которых до прямых $AB$ и $CD$ пропорциональны соответствующим отрезкам $AB$ и $CD$, - это прямая $l$, проходящая через точку пересечения прямых $AB$ и $CD$ (см. задачу 12947). Поскольку четырёхугольник $ABCD$ - вписанный, треугольники $LAB$ и $LDC$ (где $L$ - точка пересечения диагоналей) подобны. Значит, их высоты, проведённые из общей вершины $L$ пропорциональны противоположным сторонам, т.е. точка $L$ также лежит на прямой $l$. Аналогично $L$ лежит на второй такой же прямой и, значит, совпадает с $K$.
Внутри вписанного четырёхугольника $ABCD$ существует точка $K$, расстояния от которой до сторон четырёхугольника пропорциональны этим сторонам. Докажите, что $K$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$.
Решение:
Множество точек, расстояния от которых до прямых $AB$ и $CD$ пропорциональны соответствующим отрезкам $AB$ и $CD$, - это прямая $l$, проходящая через точку пересечения прямых $AB$ и $CD$ (см. задачу 12947). Поскольку четырёхугольник $ABCD$ - вписанный, треугольники $LAB$ и $LDC$ (где $L$ - точка пересечения диагоналей) подобны. Значит, их высоты, проведённые из общей вершины $L$ пропорциональны противоположным сторонам, т.е. точка $L$ также лежит на прямой $l$. Аналогично $L$ лежит на второй такой же прямой и, значит, совпадает с $K$.
