Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12952
2023-05-08 
Сторону $AB$ треугольника $ABC$ разделили на $n$ равных частей (точки деления $B_{0}=A,B_{1},B_{2},\dots,B_{n}=B$), а сторону $AC$ этого треугольника разделили на $n+1$ равных частей (точки деления $C_{0}=A,C_{1},C_{2},\dots,C_{n+1}=C$). Закрасили треугольники $C_{i}B_{i}C_{i+1}$. Какая часть площади треугольника закрашена?
Решение:
Покажем, что закрашенная часть составляет ровно половину площади всего треугольника. Для этого из точек $B_{1},\dots,B_{n}$ опустим перпендикуляры на сторону $AC$. Эти перпендикуляры являются высотами треугольников $C_{i}B_{i}C_{i+1}$ с одинаковыми основаниями, причём, как следует из соображений подобия, $h_{i}=ih_{1}$. Отсюда вытекает, что таким же соотношением будут связаны площади окрашенных треугольников: $S_{i}=iS_{1}$. (На рисунке изображён случай $n=4$.)
Опустив затем перпендикуляры из точек $C_{1},\dots,C_{n}$ на сторону $AC$, и рассуждая аналогично, получим такое же соотношение для площадей незакрашенных треугольников. Осталось заметить, что площадь первого закрашенного треугольника равна площади первого незакрашенного (их основания равны, а высота $h_{1}$ общая).
Сторону $AB$ треугольника $ABC$ разделили на $n$ равных частей (точки деления $B_{0}=A,B_{1},B_{2},\dots,B_{n}=B$), а сторону $AC$ этого треугольника разделили на $n+1$ равных частей (точки деления $C_{0}=A,C_{1},C_{2},\dots,C_{n+1}=C$). Закрасили треугольники $C_{i}B_{i}C_{i+1}$. Какая часть площади треугольника закрашена?
Решение:
Покажем, что закрашенная часть составляет ровно половину площади всего треугольника. Для этого из точек $B_{1},\dots,B_{n}$ опустим перпендикуляры на сторону $AC$. Эти перпендикуляры являются высотами треугольников $C_{i}B_{i}C_{i+1}$ с одинаковыми основаниями, причём, как следует из соображений подобия, $h_{i}=ih_{1}$. Отсюда вытекает, что таким же соотношением будут связаны площади окрашенных треугольников: $S_{i}=iS_{1}$. (На рисунке изображён случай $n=4$.)
Опустив затем перпендикуляры из точек $C_{1},\dots,C_{n}$ на сторону $AC$, и рассуждая аналогично, получим такое же соотношение для площадей незакрашенных треугольников. Осталось заметить, что площадь первого закрашенного треугольника равна площади первого незакрашенного (их основания равны, а высота $h_{1}$ общая).
