Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12947
2023-05-08 
Точки $X$ и $Z$ - проекции точек соответственно $P$ и $Q$, лежащих внутри угла с вершиной $O$, на одну сторону угла, а точки $Y$ и $T$ - на другую. При этом $PX:PY=QZ:QT$. Докажите, что точки $P$, $Q$ и $O$ лежат на одной прямой.
Решение:
Треугольники $PXY$ и $QZT$ подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $\angle QZT=\angle PXY$. Точки $X$ и $Y$ лежат на окружности с диаметром $OP$, а точки $Z$ и $T$ - на окружности с диаметром $OQ$. Значит,
$\angle QOX=\angle QOZ=\angle QTZ=\angle PYX=\angle POX.$
Следовательно, точка $Q$ лежит на прямой $OP$.
Точки $X$ и $Z$ - проекции точек соответственно $P$ и $Q$, лежащих внутри угла с вершиной $O$, на одну сторону угла, а точки $Y$ и $T$ - на другую. При этом $PX:PY=QZ:QT$. Докажите, что точки $P$, $Q$ и $O$ лежат на одной прямой.
Решение:
Треугольники $PXY$ и $QZT$ подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $\angle QZT=\angle PXY$. Точки $X$ и $Y$ лежат на окружности с диаметром $OP$, а точки $Z$ и $T$ - на окружности с диаметром $OQ$. Значит,
$\angle QOX=\angle QOZ=\angle QTZ=\angle PYX=\angle POX.$
Следовательно, точка $Q$ лежит на прямой $OP$.
