Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12939
2023-05-08 
Координаты вершин равнобедренного треугольника - целые числа. Докажите, что квадрат основания треугольника - чётное число.
Решение:
Пусть $ABC$ - данный равнобедренный треугольник с основанием $AC$. Параллельно перенесём его на вектор $\overrightarrow{AO}$. Получим равнобедренный треугольник $OB'C'$. Координаты $(b_{1};b_{2})$ и $(c_{1};c_{2})$ его вершин $B'$ и $C'$ останутся целыми числами. Равенство $B'O=B'C$ означает, что
$b_{1}^{2}+b_{2}^{2}=(b_{1}-c_{1})^{2}+(b_{2}-c_{2})^{2}$
(см. задачу 7368), откуда
$AC^{2}=OC'^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=2(b_{1}c_{1}+b_{2}c_{2}).$
Что и требовалось доказать.
Координаты вершин равнобедренного треугольника - целые числа. Докажите, что квадрат основания треугольника - чётное число.
Решение:
Пусть $ABC$ - данный равнобедренный треугольник с основанием $AC$. Параллельно перенесём его на вектор $\overrightarrow{AO}$. Получим равнобедренный треугольник $OB'C'$. Координаты $(b_{1};b_{2})$ и $(c_{1};c_{2})$ его вершин $B'$ и $C'$ останутся целыми числами. Равенство $B'O=B'C$ означает, что
$b_{1}^{2}+b_{2}^{2}=(b_{1}-c_{1})^{2}+(b_{2}-c_{2})^{2}$
(см. задачу 7368), откуда
$AC^{2}=OC'^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=2(b_{1}c_{1}+b_{2}c_{2}).$
Что и требовалось доказать.
