Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 12946
2023-05-08 
В окружности с центром $O$ проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что середина отрезка $OP$ равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
Решение:
Пусть $R=OA$ - радиус первой окружности, $X$ и $Y$ - середины хорд $AB$ и $CD$ соответственно, $Q$ - середина отрезка $OP$. Тогда по формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 7212)
$XQ^{2}=\frac{1}{4}(2OX^{2}+2XP^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2OX^{2}+2XA^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2OA^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2R^{2}-OP^{2}).$
$YQ^{2}=\frac{1}{4}(2OY^{2}+2YP^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2OY^{2}+2YC^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2OC^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2R^{2}-OP^{2}).$
Значит, $XQ=YQ$, т.е. точка $Q$ равноудалена от точек $X$ и $Y$, а следовательно, и от прямых $AB$ и $CD$.
В окружности с центром $O$ проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что середина отрезка $OP$ равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
Решение:
Пусть $R=OA$ - радиус первой окружности, $X$ и $Y$ - середины хорд $AB$ и $CD$ соответственно, $Q$ - середина отрезка $OP$. Тогда по формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 7212)
$XQ^{2}=\frac{1}{4}(2OX^{2}+2XP^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2OX^{2}+2XA^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2OA^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2R^{2}-OP^{2}).$
$YQ^{2}=\frac{1}{4}(2OY^{2}+2YP^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2OY^{2}+2YC^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2OC^{2}-OP^{2})=\frac{1}{4}(2R^{2}-OP^{2}).$
Значит, $XQ=YQ$, т.е. точка $Q$ равноудалена от точек $X$ и $Y$, а следовательно, и от прямых $AB$ и $CD$.
