Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1687
2019-01-20 
Найдите все простые $p$, для каждого из которых существуют такие натуральные $x$ и $y$, что $p^x = y^3 + 1$.
Решение:
Первое решение. Имеем: $у + 1 = p^{\alpha}, y^2 - у + 1 = p^{\beta}$, где $\alpha > 0, \beta \geq 0$. Если $\beta = 0$, то $у = 1, p = 2 (x = 1)$. Пусть $\beta > 0$. Тогда $p$ - общий делитель $у + 1$ и $у^2 - у + 1$, а значит, и чисел $у + 1$ и $(у + 1)^2 - (у^2 - у + + 1) = 3у$. Отсюда, поскольку $НОД (y, y +1) - 1, p = 3$. Так бывает: $3^2 - 2^3 + 1$.
Второе решение. $p^x - (p^{\alpha} - 1)^3 + 1 = p^{\alpha}(3 + A)$, где $A$ делится на $p$. Поскольку $3 + A = p^{\gamma} (\gamma \geq 0)$, то либо $p = 3$, либо $\gamma = 0$. В последнем случае $p^x = p, x = 1$. Значит, $y = y^3$, откуда $y = 1, p = 2$.
Замечание. Во втором решении мы фактически доказали следующее
Утверждение. Если $p^x = y^{2n+1} (x, y, n$ - натуральные) и $y > 1$, то $2n + 1 = p^2$, где $z$ - натуральное число.
Ответ. 2 и 3.
Найдите все простые $p$, для каждого из которых существуют такие натуральные $x$ и $y$, что $p^x = y^3 + 1$.
Решение:
Первое решение. Имеем: $у + 1 = p^{\alpha}, y^2 - у + 1 = p^{\beta}$, где $\alpha > 0, \beta \geq 0$. Если $\beta = 0$, то $у = 1, p = 2 (x = 1)$. Пусть $\beta > 0$. Тогда $p$ - общий делитель $у + 1$ и $у^2 - у + 1$, а значит, и чисел $у + 1$ и $(у + 1)^2 - (у^2 - у + + 1) = 3у$. Отсюда, поскольку $НОД (y, y +1) - 1, p = 3$. Так бывает: $3^2 - 2^3 + 1$.
Второе решение. $p^x - (p^{\alpha} - 1)^3 + 1 = p^{\alpha}(3 + A)$, где $A$ делится на $p$. Поскольку $3 + A = p^{\gamma} (\gamma \geq 0)$, то либо $p = 3$, либо $\gamma = 0$. В последнем случае $p^x = p, x = 1$. Значит, $y = y^3$, откуда $y = 1, p = 2$.
Замечание. Во втором решении мы фактически доказали следующее
Утверждение. Если $p^x = y^{2n+1} (x, y, n$ - натуральные) и $y > 1$, то $2n + 1 = p^2$, где $z$ - натуральное число.
Ответ. 2 и 3.
