Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1670
2019-01-20 
Для некоторых натуральных чисел $а, b, с$ и $d$ выполняются равенства $ \frac {a}{c}= \frac {b}{d}= \frac {ab+1}{cd+1}$. Докажите, что $а = с$ и $b = d$.
Решение:
Первое решение. Пусть $ \frac {a}{c}= \frac {b}{d}= \frac {ab+1}{cd+1}= \frac {1}{ \alpha }$, т.е. $c = \alpha a, b = \alpha d$. Тогда $ \frac {ab+1}{ \alpha ^2ab+1}= \frac {1}{ \alpha },$ или $\alpha ab + \alpha = \alpha ^2 ab + 1$. Откуда $(\alpha ab - 1)( \alpha - 1) = 0$. То есть либо $\alpha = 1$ (и тогда $a = с$ и $b = d$), либо $\alpha ab = 1$. Но $ \alpha ab = (\alpha a)b = cb = 1$, т.е. $с = b = 1$; аналогично $a = d = 1$. В обоих случаях мы получили, что $a = с$ и $b = d$.
Второе решение. По свойствам пропорции если $ \frac {A}{B} = \frac {C}{D},$ то $\frac{A}{B} = \frac{A+C}{B+D} = \frac{A-C}{B-D}$ (если знаменатели не обращаются в ноль). Если $b = d$, то все доказано. Пусть $b \neq d$, тогда $\frac {a}{c} = \frac {b}{d} = \frac {ab+1}{cd+1}\Rightarrow \frac {a}{c}= \frac {ab+1+a+b}{cd+1+c+d}= \frac {(a+1)(b+1)}{(c+1)(d+1)}$, т.е. $a(c+1)(d+1) = c(a+1)(b+1)$. Числа $a$ и $a + 1$ взаимно просты, поэтому $с(b + 1) \vdots a$. Аналогично, $ \frac {a}{c} = \frac {ab+1-a-b}{cd+1-c-d}= \frac {(a-1)(b-1)}{(c-1)(d-1)}$, и из взаимнои простоты $а$ и $а - 1$ следует, что $c(b - 1) \vdots a$. У чисел $b + 1$ и $b - 1$ общим множителем может быть только число 2, поэтому либо $c \vdots a$, либо $c \vdots \frac {a}{2}$. Записав равенства в виде $\frac {c}{a} = \frac {d}{b} = \frac {cd+1}{ab+1}$ получаем, что либо $a \vdots c$, либо $a; \vdots \frac {c}{2}$. Это возможно только если $a = c, a = 2c$ или $2a = c$. Если $а = 2с$, то $b = 2d$ и $\frac {ab+1}{cd+1} = \frac {4cd+1}{cd+1} \neq 2$. Аналогично не подходит случай $2a = c$.
Для некоторых натуральных чисел $а, b, с$ и $d$ выполняются равенства $ \frac {a}{c}= \frac {b}{d}= \frac {ab+1}{cd+1}$. Докажите, что $а = с$ и $b = d$.
Решение:
Первое решение. Пусть $ \frac {a}{c}= \frac {b}{d}= \frac {ab+1}{cd+1}= \frac {1}{ \alpha }$, т.е. $c = \alpha a, b = \alpha d$. Тогда $ \frac {ab+1}{ \alpha ^2ab+1}= \frac {1}{ \alpha },$ или $\alpha ab + \alpha = \alpha ^2 ab + 1$. Откуда $(\alpha ab - 1)( \alpha - 1) = 0$. То есть либо $\alpha = 1$ (и тогда $a = с$ и $b = d$), либо $\alpha ab = 1$. Но $ \alpha ab = (\alpha a)b = cb = 1$, т.е. $с = b = 1$; аналогично $a = d = 1$. В обоих случаях мы получили, что $a = с$ и $b = d$.
Второе решение. По свойствам пропорции если $ \frac {A}{B} = \frac {C}{D},$ то $\frac{A}{B} = \frac{A+C}{B+D} = \frac{A-C}{B-D}$ (если знаменатели не обращаются в ноль). Если $b = d$, то все доказано. Пусть $b \neq d$, тогда $\frac {a}{c} = \frac {b}{d} = \frac {ab+1}{cd+1}\Rightarrow \frac {a}{c}= \frac {ab+1+a+b}{cd+1+c+d}= \frac {(a+1)(b+1)}{(c+1)(d+1)}$, т.е. $a(c+1)(d+1) = c(a+1)(b+1)$. Числа $a$ и $a + 1$ взаимно просты, поэтому $с(b + 1) \vdots a$. Аналогично, $ \frac {a}{c} = \frac {ab+1-a-b}{cd+1-c-d}= \frac {(a-1)(b-1)}{(c-1)(d-1)}$, и из взаимнои простоты $а$ и $а - 1$ следует, что $c(b - 1) \vdots a$. У чисел $b + 1$ и $b - 1$ общим множителем может быть только число 2, поэтому либо $c \vdots a$, либо $c \vdots \frac {a}{2}$. Записав равенства в виде $\frac {c}{a} = \frac {d}{b} = \frac {cd+1}{ab+1}$ получаем, что либо $a \vdots c$, либо $a; \vdots \frac {c}{2}$. Это возможно только если $a = c, a = 2c$ или $2a = c$. Если $а = 2с$, то $b = 2d$ и $\frac {ab+1}{cd+1} = \frac {4cd+1}{cd+1} \neq 2$. Аналогично не подходит случай $2a = c$.
