Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1649
2019-01-20 
На отрезке $[0, 2002]$ отмечены его концы и точка с координатой $d$, где $d$ - взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если ее координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
Решение:
Будем отмечать точки по правилам до тех пор, пока это возможно. Тогда, в конце концов мы получим ситуацию, когда любая середина отрезка четной длины с концами в отмеченных точках уже отмечена. Покажем, что отмечены все целые точки.
Рассмотрим два соседних отрезочка $AB$ и $BC$, на которые делят отмеченные точки исходный отрезок. Их длины нечетны, так как иначе один из них можно было бы разделить пополам. Тогда длина отрезка $AC$ четна, и его середина уже отмечена. Но на этом отрезке нет отмеченных точек, кроме $B$; поэтому $AB = BC$. Отсюда получаем, что длины всех отрезочков разбиения нечетны и равны.
Пусть их длина равна $l$. Тогда $l$ делит 2002, а так как она нечетна, то делит и 1001. Но координата исходной отмеченной точки кратна l и взаимно проста с 1001; поэтому $l = 1$, т. е. все целые точки отмечены.
Ответ. Да, можно.
На отрезке $[0, 2002]$ отмечены его концы и точка с координатой $d$, где $d$ - взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если ее координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
Решение:
Будем отмечать точки по правилам до тех пор, пока это возможно. Тогда, в конце концов мы получим ситуацию, когда любая середина отрезка четной длины с концами в отмеченных точках уже отмечена. Покажем, что отмечены все целые точки.
Рассмотрим два соседних отрезочка $AB$ и $BC$, на которые делят отмеченные точки исходный отрезок. Их длины нечетны, так как иначе один из них можно было бы разделить пополам. Тогда длина отрезка $AC$ четна, и его середина уже отмечена. Но на этом отрезке нет отмеченных точек, кроме $B$; поэтому $AB = BC$. Отсюда получаем, что длины всех отрезочков разбиения нечетны и равны.
Пусть их длина равна $l$. Тогда $l$ делит 2002, а так как она нечетна, то делит и 1001. Но координата исходной отмеченной точки кратна l и взаимно проста с 1001; поэтому $l = 1$, т. е. все целые точки отмечены.
Ответ. Да, можно.
