Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1657
2019-01-20 
Действительные числа $x$ и $у$ таковы, что для любых различных простых нечетных $p$ и $q$ число $xp + yq$ рационально. Докажите, что $x$ и $у$ - рациональные числа.
Решение:
Из рациональности $x^p+y^q, x^r + y^q, x^s + y^q$ следует рациональность чисел $x^r - x^p, x^s - x^r$. Возьмем $p = 3, r = 5, s = 7$. Тогда $a = x^7 - x^5 и b = x^5 - x^3$ рациональны. Если $b = 0$, то $x = 0$ или $x = \pm 1$, т. е. $x$ рационально. Если же $b \neq 0$, то $х^2 = \frac{a}{b}$ рационально. Но тогда из равенства $b = x^2 \cdot (x^2 - 1) \cdot x$ следует рациональность $x$. Аналогично, $y$ - рациональное число.
Действительные числа $x$ и $у$ таковы, что для любых различных простых нечетных $p$ и $q$ число $xp + yq$ рационально. Докажите, что $x$ и $у$ - рациональные числа.
Решение:
Из рациональности $x^p+y^q, x^r + y^q, x^s + y^q$ следует рациональность чисел $x^r - x^p, x^s - x^r$. Возьмем $p = 3, r = 5, s = 7$. Тогда $a = x^7 - x^5 и b = x^5 - x^3$ рациональны. Если $b = 0$, то $x = 0$ или $x = \pm 1$, т. е. $x$ рационально. Если же $b \neq 0$, то $х^2 = \frac{a}{b}$ рационально. Но тогда из равенства $b = x^2 \cdot (x^2 - 1) \cdot x$ следует рациональность $x$. Аналогично, $y$ - рациональное число.
