Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1643
2019-01-20 
Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные - по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.
Решение:
Первое решение. Пронумеровав детали слева направо числами $1,2, \cdots , 18$, взвесим детали с номерами $4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15$. Возможны четыре случая.
1) Масса всех взвешенных деталей равна 800 г, т. е. среди них нет ни одной 99-граммовой. Для второго взвешивания берем детали с номерами $1, 2, 3, 8, 9$. Их масса может быть равна 497 г (и тогда по 99 г весят детали $1, 2, 3$), 498 г (если по 99 г весят $8, 9, 10$), 499 г ($9, 10, 11$) и 500 г ($16, 17, 18$).
2) Масса всех взвешенных деталей - 799 г, т. е. среди них ровно одна 99-граммовая. Взвесим детали $2, 3, 4, 7, 8, 12$. Здесь масса может равняться 597 г, 598 г, 599 г и 600 г, а соответствующими тройками 99граммовых деталей будут $(2, 3, 4), (7, 8, 9), (10, 11, 12) и (15, 16, 17)$.
3) Масса всех взвешенных деталей - 798 г, т. е. среди них ровно две 99граммовые. Тогда взвесим детали $3, 4, 5, 6, 7, 12$, и в случаях, когда весы покажут 597 г, 598 г, 599 г и 600 г, искомыми тройками будут $(3, 4, 5), (6, 7, 8), (11, 12, 13) и (14, 15, 16)$ соответственно.
4) Масса всех взвешенных деталей - 797 г, т. е. все 99-граммовые детали находятся среди них. Вторым взвешиванием узнаем массу деталей $4, 5, 6, 12$. В зависимости от того, равна она 397 г, 398 г, 399 г или 400 г, искомой тройкой деталей будет $(4, 5, 6), (5, 6, 7), (12, 13, 14)$ или $(13, 14, 15)$ соответственно.
Второе решение. Назовем детали, весящие по 99 г, фальшивыми. Взвешивание на весах со стрелкой позволяет определить, сколько фальшивых деталей было среди взвешенных. У отрезка из трех деталей есть 16 возможных положений - самая левая из фальшивых может иметь номер от 1 до 16.
Предположим, что у нас есть два конкретных взвешивания. Тогда мы можем нарисовать таблицу результатов, показывающую для каждого положения левого конца фальшивого отрезка, сколько фальшивых деталей было бы взвешено. Если в таблице каждая пара чисел от 0 до 3 (их всего 16) встречается ровно 1 раз, то по результату взвешиваний можно однозначно определить положение фальшивого отрезка. Приведем такую таблицу.
Покажем, как найти взвешивания, дающие данную таблицу. Первое взвешивание: из первого отрезка должно попасть ноль деталей, значит, с 1 по 3 - не берем, из второго (со 2 по 4) - тоже ноль, значит, 4 не берем, и так до 5 отрезка (с 5 по 7), из него должна быть взята одна деталь, значит это деталь 7, ибо все до 7 уже не взяты. Из отрезка 6 должна быть взята одна деталь, но уже взята деталь 7, значит 8 не берем. И так далее: каждый следующий отрезок содержит одну новую деталь, поэтому мы можем однозначно определить, брать ее или нет.
Проведя указанный алгоритм, получаем, что требуемые взвешивания существуют: $7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18$ и $4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15$.
Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные - по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.
Решение:
Первое решение. Пронумеровав детали слева направо числами $1,2, \cdots , 18$, взвесим детали с номерами $4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15$. Возможны четыре случая.
1) Масса всех взвешенных деталей равна 800 г, т. е. среди них нет ни одной 99-граммовой. Для второго взвешивания берем детали с номерами $1, 2, 3, 8, 9$. Их масса может быть равна 497 г (и тогда по 99 г весят детали $1, 2, 3$), 498 г (если по 99 г весят $8, 9, 10$), 499 г ($9, 10, 11$) и 500 г ($16, 17, 18$).
2) Масса всех взвешенных деталей - 799 г, т. е. среди них ровно одна 99-граммовая. Взвесим детали $2, 3, 4, 7, 8, 12$. Здесь масса может равняться 597 г, 598 г, 599 г и 600 г, а соответствующими тройками 99граммовых деталей будут $(2, 3, 4), (7, 8, 9), (10, 11, 12) и (15, 16, 17)$.
3) Масса всех взвешенных деталей - 798 г, т. е. среди них ровно две 99граммовые. Тогда взвесим детали $3, 4, 5, 6, 7, 12$, и в случаях, когда весы покажут 597 г, 598 г, 599 г и 600 г, искомыми тройками будут $(3, 4, 5), (6, 7, 8), (11, 12, 13) и (14, 15, 16)$ соответственно.
4) Масса всех взвешенных деталей - 797 г, т. е. все 99-граммовые детали находятся среди них. Вторым взвешиванием узнаем массу деталей $4, 5, 6, 12$. В зависимости от того, равна она 397 г, 398 г, 399 г или 400 г, искомой тройкой деталей будет $(4, 5, 6), (5, 6, 7), (12, 13, 14)$ или $(13, 14, 15)$ соответственно.
Второе решение. Назовем детали, весящие по 99 г, фальшивыми. Взвешивание на весах со стрелкой позволяет определить, сколько фальшивых деталей было среди взвешенных. У отрезка из трех деталей есть 16 возможных положений - самая левая из фальшивых может иметь номер от 1 до 16.
Предположим, что у нас есть два конкретных взвешивания. Тогда мы можем нарисовать таблицу результатов, показывающую для каждого положения левого конца фальшивого отрезка, сколько фальшивых деталей было бы взвешено. Если в таблице каждая пара чисел от 0 до 3 (их всего 16) встречается ровно 1 раз, то по результату взвешиваний можно однозначно определить положение фальшивого отрезка. Приведем такую таблицу.
Покажем, как найти взвешивания, дающие данную таблицу. Первое взвешивание: из первого отрезка должно попасть ноль деталей, значит, с 1 по 3 - не берем, из второго (со 2 по 4) - тоже ноль, значит, 4 не берем, и так до 5 отрезка (с 5 по 7), из него должна быть взята одна деталь, значит это деталь 7, ибо все до 7 уже не взяты. Из отрезка 6 должна быть взята одна деталь, но уже взята деталь 7, значит 8 не берем. И так далее: каждый следующий отрезок содержит одну новую деталь, поэтому мы можем однозначно определить, брать ее или нет.
Проведя указанный алгоритм, получаем, что требуемые взвешивания существуют: $7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18$ и $4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15$.
