Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1647
2019-01-20 
Можно ли расставить по кругу числа $1,2, \cdots, 60$ в таком порядке, чтобы сумма любых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма любых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, \cdots, сумма любых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?
Решение:
Пусть нам удалось расставить числа требуемым образом. Возьмем число 7. По условию $8-е, 15-е, 22-е, 29-е, 36-е, 43-е, 50-е, 57-е$ от него по часовой стрелке числа должны делиться на 7. Мы насчитали уже 9 различных чисел, которые должны делиться на 7. Но среди чисел от 1 до 60 их всего восемь $(7 \cdot 1,\cdots, 7 \cdot 8)$. Противоречие.
Ответ. Нельзя.
Можно ли расставить по кругу числа $1,2, \cdots, 60$ в таком порядке, чтобы сумма любых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма любых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, \cdots, сумма любых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?
Решение:
Пусть нам удалось расставить числа требуемым образом. Возьмем число 7. По условию $8-е, 15-е, 22-е, 29-е, 36-е, 43-е, 50-е, 57-е$ от него по часовой стрелке числа должны делиться на 7. Мы насчитали уже 9 различных чисел, которые должны делиться на 7. Но среди чисел от 1 до 60 их всего восемь $(7 \cdot 1,\cdots, 7 \cdot 8)$. Противоречие.
Ответ. Нельзя.
