Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1678
2019-01-20 
Докажите, что из любых шести четырехзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.
Решение:
Обозначим через $M = {a_1, \cdots ,a_6}$ множество исходных чисел, через $M_i$ - множество $M$ без $a_i$, а через $A_i$ - наибольший общий делитель чисел из $Mi, i = 1, \cdots , 6$. Наибольший общий делитель любых чисел $A_i$ и $A_j, i \neq j$, равен наибольшему общему делителю всех чисел $a_1,\cdots, a_6$, т. е. $l$, следовательно, $A_1, \cdots, A_6$ попарно взаимно просты. Если все они не равны 1, обозначим через $p_i$ наибольший простой делитель $A_i$. В силу попарной взаимной простоты чисел $A_i$, числа $p_i$ попарно различны, и можно считать, что $p_1 < \cdots < p_6$ и $A_1 \geq 2, A_2 \geq 3,\cdots, A_6 \geq 13$.
Тогда из $a_1 \in M_2, \cdots, M_6$, следует, что $a_1$ делится на $A_2 \cdots A_6 \geq 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 - 15015$. Противоречие с тем, что $a_1$ четырехзначно. Следовательно, одно из чисел $A_i$ равно 1 и пять чисел в соответствующем множестве $M_i$ взаимно просты в совокупности.
Докажите, что из любых шести четырехзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.
Решение:
Обозначим через $M = {a_1, \cdots ,a_6}$ множество исходных чисел, через $M_i$ - множество $M$ без $a_i$, а через $A_i$ - наибольший общий делитель чисел из $Mi, i = 1, \cdots , 6$. Наибольший общий делитель любых чисел $A_i$ и $A_j, i \neq j$, равен наибольшему общему делителю всех чисел $a_1,\cdots, a_6$, т. е. $l$, следовательно, $A_1, \cdots, A_6$ попарно взаимно просты. Если все они не равны 1, обозначим через $p_i$ наибольший простой делитель $A_i$. В силу попарной взаимной простоты чисел $A_i$, числа $p_i$ попарно различны, и можно считать, что $p_1 < \cdots < p_6$ и $A_1 \geq 2, A_2 \geq 3,\cdots, A_6 \geq 13$.
Тогда из $a_1 \in M_2, \cdots, M_6$, следует, что $a_1$ делится на $A_2 \cdots A_6 \geq 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 - 15015$. Противоречие с тем, что $a_1$ четырехзначно. Следовательно, одно из чисел $A_i$ равно 1 и пять чисел в соответствующем множестве $M_i$ взаимно просты в совокупности.
