Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1672
2019-01-20 
Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел $a$ и $b (a > b)$ хотя бы одно из чисел $a + b$ или $a - b$ тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.
Решение:
Занумеруем числа набора в порядке возрастания: $0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_{2003}$. Поскольку суммы $a_{2003} + a_1, \cdots, a_{2003} + a_{2002}$ в набор входить не могут, в него входят разности $a_{2003} - a_1,\cdots, a_{2003} - a_{2002}$. Все эти 2002 разности различны и меньше, чем $a_{2003}$. Поэтому $a_{2003} - a_1 = a_{2002}, a_{2003} - a_2 = a_{2001}, \cdots, a_{2003} - a_{2002} = a_1$. Далее, поскольку $a_{2002} + a_2 > a_{2002} + a_1 = a_{2003}$, в набор входит разность $a_{2002} - a_2$. По тем же причинам в набор входят разности $a_{2002} - a_3, \cdots, a_{2002} - a_{2001}$. Всего таких разностей 2000, все они различны и меньше, чем $a_{2001}$ (ибо $a_{2001} = a_{2003} - a_2 > a_{2002} - a_2$). Поэтому $a_{2002} - a_2 = a_{2000}, \cdots, a_{2002} - a_{2001} = a_1$.
Возьмем произвольное $2 \leq k \leq 2001$. Тогда $a_{2003} - a_k - a_{2003-k}$ и $a_{2002} - a_k - a_{2002-k}$, откуда $a_{2003-k} - a_{2002-k} - a_{2003} - a_{2002} = a_1$. Таким образом, $a_1 - a_{2003} - a_{2002} = a_{2002} - a_{2001} = a_{2001} - a_{2000} = \cdots a_2 - a_1$, что и требовалось доказать.
Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел $a$ и $b (a > b)$ хотя бы одно из чисел $a + b$ или $a - b$ тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.
Решение:
Занумеруем числа набора в порядке возрастания: $0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_{2003}$. Поскольку суммы $a_{2003} + a_1, \cdots, a_{2003} + a_{2002}$ в набор входить не могут, в него входят разности $a_{2003} - a_1,\cdots, a_{2003} - a_{2002}$. Все эти 2002 разности различны и меньше, чем $a_{2003}$. Поэтому $a_{2003} - a_1 = a_{2002}, a_{2003} - a_2 = a_{2001}, \cdots, a_{2003} - a_{2002} = a_1$. Далее, поскольку $a_{2002} + a_2 > a_{2002} + a_1 = a_{2003}$, в набор входит разность $a_{2002} - a_2$. По тем же причинам в набор входят разности $a_{2002} - a_3, \cdots, a_{2002} - a_{2001}$. Всего таких разностей 2000, все они различны и меньше, чем $a_{2001}$ (ибо $a_{2001} = a_{2003} - a_2 > a_{2002} - a_2$). Поэтому $a_{2002} - a_2 = a_{2000}, \cdots, a_{2002} - a_{2001} = a_1$.
Возьмем произвольное $2 \leq k \leq 2001$. Тогда $a_{2003} - a_k - a_{2003-k}$ и $a_{2002} - a_k - a_{2002-k}$, откуда $a_{2003-k} - a_{2002-k} - a_{2003} - a_{2002} = a_1$. Таким образом, $a_1 - a_{2003} - a_{2002} = a_{2002} - a_{2001} = a_{2001} - a_{2000} = \cdots a_2 - a_1$, что и требовалось доказать.
