Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3619
2019-06-13 
На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
Решение:
.
Одно из направлений линий сетки будем называть гори зонтальным, а другое - вертикальным. Окружность диаметра 200, не проходящая через узлы и не касающаяся линий сетки, пересекает 200 горизонтальных прямых и 200 вертикальных, причем каждую из них 2 раза. Таким образом, наибольшее число точек пересечения равно 800. Эти 800 точек делят окружность на 800 частей. Каждая из этих частей лежит внутри одной клетки. Поэтому наибольшее возможное число клеток - 800.
Однако может случиться, что какие-то две части принадлежат одной клетке, т. е. что окружность дважды пересекает какую-то клетку (рис.). Докажем, что таких «особых» клеток не более одной.
Посмотрим, где может лежать центр $O$ окружности диаметра 200, пересекающей некоторую сторону $AB$ клетки дважды.
Расстояние от центра $O$ такой окружности до точек $A$ и $B$ больше 100, а от прямой $AB$ - меньше 100, поэтому $O$ лежит вне окружностей радиуса 100 с центрами в точках $A$ и $B$ между двумя вертикальными линиями сетки, проходящими через $A$ и $B$ и внутри полосы шириной 200 с горизонтальной осью $AB$. Все такие точки заполняют внутренность двух криволинейных треугольников (один из них заштрихован на рис.).
Очевидно, что для разных отрезков $AB$ такие множества не имеют общих точек, и поэтому существует не более одной особой клетки.
Ответ: 800 или 799.
На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
Решение:
.
Одно из направлений линий сетки будем называть гори зонтальным, а другое - вертикальным. Окружность диаметра 200, не проходящая через узлы и не касающаяся линий сетки, пересекает 200 горизонтальных прямых и 200 вертикальных, причем каждую из них 2 раза. Таким образом, наибольшее число точек пересечения равно 800. Эти 800 точек делят окружность на 800 частей. Каждая из этих частей лежит внутри одной клетки. Поэтому наибольшее возможное число клеток - 800.
Однако может случиться, что какие-то две части принадлежат одной клетке, т. е. что окружность дважды пересекает какую-то клетку (рис.). Докажем, что таких «особых» клеток не более одной.
Посмотрим, где может лежать центр $O$ окружности диаметра 200, пересекающей некоторую сторону $AB$ клетки дважды.
Расстояние от центра $O$ такой окружности до точек $A$ и $B$ больше 100, а от прямой $AB$ - меньше 100, поэтому $O$ лежит вне окружностей радиуса 100 с центрами в точках $A$ и $B$ между двумя вертикальными линиями сетки, проходящими через $A$ и $B$ и внутри полосы шириной 200 с горизонтальной осью $AB$. Все такие точки заполняют внутренность двух криволинейных треугольников (один из них заштрихован на рис.).
Очевидно, что для разных отрезков $AB$ такие множества не имеют общих точек, и поэтому существует не более одной особой клетки.
Ответ: 800 или 799.
