Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3605
2019-06-12 
На плоскости даны 100 точек. Докажите, что их можно покрыть нескольким и непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше 100 и расстояние между любыми двумя из которых больше единицы (расстояние между двумя непересекающимися кругами - это расстояние между их ближайшими точками).
Решение:
Опишем вокруг каждой из данных точек круг радиуса 1/2. Сумма диаметров этих кругов равна 100.
Если какие-то два круга пересекаются, то заменим их одним кругом, а именно кругом наименьшего диаметра, содержащего эти два. Сумма диаметров при этом не увеличится, а число кругов уменьшится.
Продолжая эту процедуру, мы получим систему попарно не пересекающихся кругов, содержащих все данные точки, причем сумма диаметров этих кругов не больше 100. Отметим, что расстояние от каждой точки до границы круга не меньше 1/2*
Пусть $r$ - наименьшее расстояние между кругами. Если $r > 1$, то все доказано. При $r \leq 1$ заменим каждый из кругов концентрическим с ним кругом, радиус которого на $\frac{1}{2} - \frac{r}{3}$ - меньше.
Полученная система кругов полностью удовлетворяет условию.
На плоскости даны 100 точек. Докажите, что их можно покрыть нескольким и непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше 100 и расстояние между любыми двумя из которых больше единицы (расстояние между двумя непересекающимися кругами - это расстояние между их ближайшими точками).
Решение:
Опишем вокруг каждой из данных точек круг радиуса 1/2. Сумма диаметров этих кругов равна 100.
Если какие-то два круга пересекаются, то заменим их одним кругом, а именно кругом наименьшего диаметра, содержащего эти два. Сумма диаметров при этом не увеличится, а число кругов уменьшится.
Продолжая эту процедуру, мы получим систему попарно не пересекающихся кругов, содержащих все данные точки, причем сумма диаметров этих кругов не больше 100. Отметим, что расстояние от каждой точки до границы круга не меньше 1/2*
Пусть $r$ - наименьшее расстояние между кругами. Если $r > 1$, то все доказано. При $r \leq 1$ заменим каждый из кругов концентрическим с ним кругом, радиус которого на $\frac{1}{2} - \frac{r}{3}$ - меньше.
Полученная система кругов полностью удовлетворяет условию.
