Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3611
2019-06-13 
а) Можно лн на окружности расположить числа $0, 1, 2, \cdots 9$ так, чтобы любые два соседних отличались на 3, 4 или 5?
б) Можно ли на окружности расположить числа $1, 2, 3, \cdots, 13$ так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3, 4 или 5?
Решение:
а) Заметим, что никакие два из чисел 0, 1, 2, 8, 9 не могут стоять рядом. Значит, они должны стоять через одно. Однако число 7 не может оказаться ни на одном из 5 оставшихся мест, ведь рядом с ним из выписанных чисел может стоять только 2.
б) Рассуждение аналогично а). Никакие два из чисел 1, 2, 3, 11, 12, 13 не могут стоять рядом; из этих чисел только 1 может стоять рядом с 4 и только 13 рядом с 10, то 10 и 4 должны стоять рядом, но это противоречит условию.
Любопытно отметить, что для четырнадцати чисел (и, по-видимому, для любого $n \geq 14$) такая расстановка возможна:
- 12 - 9 - 13 - 10 - 14 - 11 - 7 - 4-1 - 5 - 2 - 6 - 3 - 8-.
Ответ: а) нельзя. б) нельзя.
а) Можно лн на окружности расположить числа $0, 1, 2, \cdots 9$ так, чтобы любые два соседних отличались на 3, 4 или 5?
б) Можно ли на окружности расположить числа $1, 2, 3, \cdots, 13$ так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3, 4 или 5?
Решение:
а) Заметим, что никакие два из чисел 0, 1, 2, 8, 9 не могут стоять рядом. Значит, они должны стоять через одно. Однако число 7 не может оказаться ни на одном из 5 оставшихся мест, ведь рядом с ним из выписанных чисел может стоять только 2.
б) Рассуждение аналогично а). Никакие два из чисел 1, 2, 3, 11, 12, 13 не могут стоять рядом; из этих чисел только 1 может стоять рядом с 4 и только 13 рядом с 10, то 10 и 4 должны стоять рядом, но это противоречит условию.
Любопытно отметить, что для четырнадцати чисел (и, по-видимому, для любого $n \geq 14$) такая расстановка возможна:
- 12 - 9 - 13 - 10 - 14 - 11 - 7 - 4-1 - 5 - 2 - 6 - 3 - 8-.
Ответ: а) нельзя. б) нельзя.
