Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3627
2019-06-13 
а) В клетках квадратной таблицы $4 \times4$ расставлены знаки « + » и «-», как показано на рис. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, в любой угловой клетке). Докажите, что сколько бы мы ни произвели таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.
б) На всех клетках шахматной доски $8 \times 8$ расставлены плюсы, за исключением одной не угловой клетки, где стоит минус. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали (в частности, в любой угловой клетке; диагональ - линия, по которой ходит шахматный слон). Докажите, что сколько бы мы ни произвели таких перемен знака, нам не удастся получить доску с одними плюсами.
Решение:
а) Легко видеть, что каждая прямая, параллельная сторонам или диагоналям квадрата, пересекает четное число из восьми заштрихованных на рис. клеток. Поэтому четность числа минусов, стоящих в этих клетках, при указанных операциях не меняется.
б) на доске $8 \times 8$ можно нарисовать квадрат $4 \times 4$, в котором минус будет расположен так же, как в задаче а), после чего задача сводится к 3626.
а) В клетках квадратной таблицы $4 \times4$ расставлены знаки « + » и «-», как показано на рис. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, в любой угловой клетке). Докажите, что сколько бы мы ни произвели таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.
б) На всех клетках шахматной доски $8 \times 8$ расставлены плюсы, за исключением одной не угловой клетки, где стоит минус. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали (в частности, в любой угловой клетке; диагональ - линия, по которой ходит шахматный слон). Докажите, что сколько бы мы ни произвели таких перемен знака, нам не удастся получить доску с одними плюсами.
Решение:
а) Легко видеть, что каждая прямая, параллельная сторонам или диагоналям квадрата, пересекает четное число из восьми заштрихованных на рис. клеток. Поэтому четность числа минусов, стоящих в этих клетках, при указанных операциях не меняется.
б) на доске $8 \times 8$ можно нарисовать квадрат $4 \times 4$, в котором минус будет расположен так же, как в задаче а), после чего задача сводится к 3626.
