Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3630
2019-06-13 
После выступлений 20 фигуристов каждый из 9 судей по своему усмотрению распределяет среди них места с 1-го по 20-е. Оказалось, что у каждого фигуриста места, присвоенные ему разными судьями, отличаются не более чем на 3. Подсчитаем суммы мест, полученных каждым фигуристом, и расположим эти числа в порядке возрастания: $c_1 \leq c_2 \leq c_3 \leq \cdots \leq c_{20}$. Какое наибольшее значение может иметь $c_1$?
Решение:
Если первое место одному фигуристу присуждено всеми судьями, то $c_1 = 9$. Если первые места присуждены двум фигуристам, то один из них получил не менее 5 первых мест, а остальные четыре полученных им места не выше четвертого, поэтому $c_1 \leq 5 \cdot 1 + 4 \cdot 4 = 21$.
Если первые места получили 3 фигуриста, то, поскольку остальные из полученных ими мест не выше четвертого, сумма мест всех этих фигуристов не больше $1 \cdot 9 + 3 \cdot 9 + 4 \cdot 9 = 72$. Следовательно, $c_1 \leq 24$. Если спортсменов, получивших первое место, четверо, то их общая сумма мест не больше 90, следовательно, сумма баллов одного из них не больше 22. Случай, когда 5 и более спортсменов получают первое место, невозможен (на них не хватит очков от 1 до 4).
Итак, $c_1 \leq 24$. Покажем, как построить пример с $c_1 = 24$.
Если судьи распределяли очки так: каждый из трех лучших фигуристов получит места 1,1,1, 3,3,3, 4,4 4, каждый из трех следующих 2,2,2, 5,5,5, 6,6,6, а остальные - произвольно, то получится распределение, при котором $c_1 = 24$.
Ответ: наибольшее возможное значение $c_1$ равно 24.
После выступлений 20 фигуристов каждый из 9 судей по своему усмотрению распределяет среди них места с 1-го по 20-е. Оказалось, что у каждого фигуриста места, присвоенные ему разными судьями, отличаются не более чем на 3. Подсчитаем суммы мест, полученных каждым фигуристом, и расположим эти числа в порядке возрастания: $c_1 \leq c_2 \leq c_3 \leq \cdots \leq c_{20}$. Какое наибольшее значение может иметь $c_1$?
Решение:
Если первое место одному фигуристу присуждено всеми судьями, то $c_1 = 9$. Если первые места присуждены двум фигуристам, то один из них получил не менее 5 первых мест, а остальные четыре полученных им места не выше четвертого, поэтому $c_1 \leq 5 \cdot 1 + 4 \cdot 4 = 21$.
Если первые места получили 3 фигуриста, то, поскольку остальные из полученных ими мест не выше четвертого, сумма мест всех этих фигуристов не больше $1 \cdot 9 + 3 \cdot 9 + 4 \cdot 9 = 72$. Следовательно, $c_1 \leq 24$. Если спортсменов, получивших первое место, четверо, то их общая сумма мест не больше 90, следовательно, сумма баллов одного из них не больше 22. Случай, когда 5 и более спортсменов получают первое место, невозможен (на них не хватит очков от 1 до 4).
Итак, $c_1 \leq 24$. Покажем, как построить пример с $c_1 = 24$.
Если судьи распределяли очки так: каждый из трех лучших фигуристов получит места 1,1,1, 3,3,3, 4,4 4, каждый из трех следующих 2,2,2, 5,5,5, 6,6,6, а остальные - произвольно, то получится распределение, при котором $c_1 = 24$.
Ответ: наибольшее возможное значение $c_1$ равно 24.
