Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3599
2019-06-12 
а) Восьмиклассники построены в шеренгу. Перед каждым из них стоит семиклассник, который ниже его ростом. Докажите, что если шеренгу восьмиклассников выстроить по росту и шеренгу семиклассников тоже выстроить по росту, то по-прежнему каждый восьмиклассник будет выше стоящего перед ним семиклассника.
б) Полк солдат выстроен в виде прямоугольника таким образом, что в каждой шеренге солдаты стоят по росту. Докажите, что если в каждой колонне перестроить солдат тоже по росту, то в каждой шеренге они по-прежнему будут стоять по росту.
Решение:
а) Достаточно доказать, что $k$-й по росту восьмиклассник выше $k$-то семиклассника. Пусть $А$ - $k$-й по росту семиклассник. Тогда существует не меньше к семиклассников (в их число входит и $A$), которые не ниже $A$. Все $k$ восьмиклассников, стоящих за ними, выше $A$. Поэтому $k$-й по росту восьмиклассник выше $A$.
б) Сводится к задаче а): достаточно провести те же рассуждения для любых двух колонн.
а) Восьмиклассники построены в шеренгу. Перед каждым из них стоит семиклассник, который ниже его ростом. Докажите, что если шеренгу восьмиклассников выстроить по росту и шеренгу семиклассников тоже выстроить по росту, то по-прежнему каждый восьмиклассник будет выше стоящего перед ним семиклассника.
б) Полк солдат выстроен в виде прямоугольника таким образом, что в каждой шеренге солдаты стоят по росту. Докажите, что если в каждой колонне перестроить солдат тоже по росту, то в каждой шеренге они по-прежнему будут стоять по росту.
Решение:
а) Достаточно доказать, что $k$-й по росту восьмиклассник выше $k$-то семиклассника. Пусть $А$ - $k$-й по росту семиклассник. Тогда существует не меньше к семиклассников (в их число входит и $A$), которые не ниже $A$. Все $k$ восьмиклассников, стоящих за ними, выше $A$. Поэтому $k$-й по росту восьмиклассник выше $A$.
б) Сводится к задаче а): достаточно провести те же рассуждения для любых двух колонн.
