Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3620
2019-06-13 
Среди студентов, поступивших в Университет дружбы народов, ровно 50 человек знают английский язык, ровно 50 человек знают французский язык и ровно 50 человек знают испанский язык. Докажите, что студентов можно разбить на 5 (не обязательно равных) групп так, чтобы в каждой группе было ровно 10 человек, знающих английский язык, ровно 10 человек, знающих французский язык, и ровно 10 человек, знающих испанский язык. (Предполагается, что некоторые из студентов могут либо не знать ни одного из этих языков, либо знать любое количество из них.)
Решение:
Сначала докажем, что можно выбрать группу студентов, в которой каждый язык знают ровно два человека.
Будем обозначать каждого студента набором из начальных букв названий известных ему языков. Так, студент $а$ знает английский, но не знает остальных языков, студент $иф$ знает испанский и французский, но не знает английского; студент $аиф$ знает все три языка.
Пусть $N_a, N_u, N_ф, N_{au}, N_{аф}, N_{uф}, N_{аиф}$ количества студентов каждого типа.
Если $N_{au} \neq 0, N_{аф} \neq 0$ и $N_{uф} \neq 0$, то выбираем группу ($аu, аф, иф$).
Если одно из чисел, скажем $N_{au}$, равно 0, $N_{аф}$ не равно 0, и $N_{иф}$ не равно 0, то тогда $N_a \neq 0$, $Nu \neq 0$ и требуемая группа - ($аф, иф, а, и$).
Если $N_{au} - N_{аф} = 0, N_{иф} \neq 0$ и $N_{аиф} \neq 0$, то выбираем группу ($аиф, иф, а$), если $N_{аиф} = 0, N_{иф} \geq 2$, то группу ($иф, иф, а, а$), если же $N_{иф} = 1$, то группу ($иф, а, а, и, ф$).
Если $N_{аи} = N_{аф} = N_{иф} = 0$, то возможен выбор одной из трех групп: ($аиф, аиф$), ($а, и, ф, а, и, ф$) или ($аиф, а, и, ф$).
Дальнейшее ясно выбирая 5 раз по группе, в которой каждый язык знают ровно 2 человека, мы получим первую группу, в которой каждый язык знают 10 человек. Затем выбираем еще одну такую группу и т. д,
В общем случае, если в некоторой группе студентов каждый из трех данных языков знают $n$ человек, то для любого четного $p < n$ можно выбрать группу, в которой каждый язык знают $p$ человек, (Условие четности $p$ при этом существенно.)
Среди студентов, поступивших в Университет дружбы народов, ровно 50 человек знают английский язык, ровно 50 человек знают французский язык и ровно 50 человек знают испанский язык. Докажите, что студентов можно разбить на 5 (не обязательно равных) групп так, чтобы в каждой группе было ровно 10 человек, знающих английский язык, ровно 10 человек, знающих французский язык, и ровно 10 человек, знающих испанский язык. (Предполагается, что некоторые из студентов могут либо не знать ни одного из этих языков, либо знать любое количество из них.)
Решение:
Сначала докажем, что можно выбрать группу студентов, в которой каждый язык знают ровно два человека.
Будем обозначать каждого студента набором из начальных букв названий известных ему языков. Так, студент $а$ знает английский, но не знает остальных языков, студент $иф$ знает испанский и французский, но не знает английского; студент $аиф$ знает все три языка.
Пусть $N_a, N_u, N_ф, N_{au}, N_{аф}, N_{uф}, N_{аиф}$ количества студентов каждого типа.
Если $N_{au} \neq 0, N_{аф} \neq 0$ и $N_{uф} \neq 0$, то выбираем группу ($аu, аф, иф$).
Если одно из чисел, скажем $N_{au}$, равно 0, $N_{аф}$ не равно 0, и $N_{иф}$ не равно 0, то тогда $N_a \neq 0$, $Nu \neq 0$ и требуемая группа - ($аф, иф, а, и$).
Если $N_{au} - N_{аф} = 0, N_{иф} \neq 0$ и $N_{аиф} \neq 0$, то выбираем группу ($аиф, иф, а$), если $N_{аиф} = 0, N_{иф} \geq 2$, то группу ($иф, иф, а, а$), если же $N_{иф} = 1$, то группу ($иф, а, а, и, ф$).
Если $N_{аи} = N_{аф} = N_{иф} = 0$, то возможен выбор одной из трех групп: ($аиф, аиф$), ($а, и, ф, а, и, ф$) или ($аиф, а, и, ф$).
Дальнейшее ясно выбирая 5 раз по группе, в которой каждый язык знают ровно 2 человека, мы получим первую группу, в которой каждый язык знают 10 человек. Затем выбираем еще одну такую группу и т. д,
В общем случае, если в некоторой группе студентов каждый из трех данных языков знают $n$ человек, то для любого четного $p < n$ можно выбрать группу, в которой каждый язык знают $p$ человек, (Условие четности $p$ при этом существенно.)
