2014-06-08
Колода из $n$ различных игральных карт, расположенных в случайном порядке, содержит три туза. Верхние карты колоды одна за другой снимаются, пока не будет снят второй туз. Доказать, что среднее число снятых карт равно $(n + 1)/2$.
Решение:
Разобьем все варианты распределения карт на пары взаимно «обратных» колод: если в какой-либо колоде карты расположены в некотором порядке» то в пару к ней подберем колоду карт, идущих в обратном порядке. Пусть теперь в какой-то колоде второй сверху туз имеет номер $k$. Тогда для того, чтобы вытащить второй туз из этой колоды, нужно снять $k$ карт, а чтобы вытащить второй туз из «обратной» колоды (это будет тот же самый туз), нужно снять $n + 1 – k$ карт. Среднее арифметическое чисел $k$ и $n + 1 – k$ равно $(n + 1)/2$ для любой пары взаимно «обратных» колод. Поэтому среднее число карт, которое нужно снять до появления второго туза, также равно $(n + 1)/2$.