2014-06-08
Вокруг правильного $2n$-угольника описана окружность. Тройка различных его вершин называется односторонней, если существует полуокружность, на которой лежат эти вершины (концы полуокружности принадлежат ей). Какова вероятность того, что случайно выбранная тройка вершин окажется односторонней?
Решение:
Если из трех вершин две уже выбраны, то число способов, которыми можно выбрать, то третью вершину так, чтобы полученная тройка оказалась односторонней, зависит от углового расстояния $l$ между двумя первыми вершинами. (Угловым расстоянием между вершинами А к В будем называть величину $l = \hat{AOB} \cdot (n/ \pi)$, где О – центр 2n-угольника; при этом всегда $l \leq n$, а угловое расстояние между соседними вершинами равно 1.) Если $l \leq n$, то третью вершину можно выбрать $(l - 1) + 2(n - l) = 2n - 1 – l$ способами; если же $l = n$, то ее можно выбрать произвольно, т.е. $2n – 2$ способами. Далее, для каждого значения $l = 1, 2, \cdots, n – 1$ есть ровно $2n \cdot 2 = 4n$ способов выбрать сначала первую, а затем вторую вершину на угловом расстоянии $l$ от первой. Наконец, для $l = n$ есть только $2n$ таких способов. Поэтому общее количество способов последовательного выбора трех вершин равно
$4n \cdot \sum_{l=1}^{n-1} (2n-1-l) + 2n(2n - 2) = 4n(2n - 1)(n-1) – 4n \frac{(n-1)n}{2} + 4n(n-1) = 6n^{2}(n-1)$.
Мы сосчитали количество односторонних троек при условии, что и каждой тройке выделены первая, вторая и третья вершины. Если же вершины не упорядочивать, то количество троек будет в 6 раз меньше. Количество способов произвольным образом выбрать три вершины равно
поэтому искомая вероятность равна
$\frac{n^{3}-n^{2}}{\frac{1}{6} \cdot 2n \cdot (2n - 1) \cdot (2n - 2)} = \frac{3n}{2(2n-1)}$.