2019-06-22
Неподвижная сфера радиуса $b$ «обстреливается» потоком маленьких шариков радиуса $a$. Будем предполагать, что рассеяние абсолютно упругое и что угол падения равен углу отражения (они отсчитываются от линии, соединяющей центры сферы и шарика в момент соприкосновения). Получите выражение для относительной доли шариков, рассеиваемых на разные углы. Результат представьте в виде формулы для сечения рассеяния. Убедитесь, что результат для полного сечения рассеяния сводится к очевидному выражению $\pi (a+b)^{2}$.
Решение:
Обозначим через $p$ расстояние от центра шарика до оси, проходящей через центр неподвижной сферы параллельно скорости шарика (так называемый прицельный параметр). Как видно из рисунка, $p = (a + b) \sin \alpha$, где $\alpha$ - угол между скоростью шарика и радиусом сферы, проведенным в точку попадания шарика, т. е. угол падения. Введем угол рассеяния $\xi$ - угол между начальной и конечной скоростями шарика. Учитывая, что угол падения равен углу отражения, находим $\xi = \pi - 2 \alpha$.
Итак, угол рассеяния целиком определяется углом падения, т. е. в конечном итоге прицельным расстоянием. Если посмотреть со стороны движущихся шариков, то точки попадания шариков с одним и тем же прицельным расстоянием $p$ образуют окружность радиусом $p$. Шарики с несколько меньшим прицельным расстоянием $p - \Delta p$ отклоняются на больший угол $\xi + \Delta \xi$. Очевидно, что все шарики, попавшие на заштрихованное кольцо, отклоняются на углы, лежащие между $\xi$ и $\xi + \Delta \xi$. Если $\Delta p$ мало, то площадь этого кольца, равна $2 \pi p \Delta p$, а число шариков, попадающих на него в единицу времени, равно $n \cdot 2 \pi p \Delta p$, где $n$ - плотность потока, т. е. число шариков, проходящих в единицу времени через единичную площадку, расположенную нормально к потоку. Выразим теперь $\Delta p$ через $\xi$ и $\Delta \xi$. Так как $\alpha = \frac{ \pi - \xi}{2}$, то
$\Delta p = (a + b) \left ( \cos \frac{ \xi}{2} - \cos \frac{ \xi + \Delta \xi}{2} \right ) = \frac{a + b}{2} \sin \frac{ \xi}{2} \Delta \xi$.
[Мы учли здесь то обстоятельство, что при малых $\Delta \xi \sin \Delta \xi/2 \approx \Delta \xi /2$ и $\sin \frac{ \xi + \Delta \xi}{2} \approx \sin \frac{ \xi}{2}$.] Таким образом, число частиц, рассеянных в единицу времени на углы от $\xi$ до $\xi + \Delta \xi$, равно
$n \pi (a + b)^{2} \sin \frac{ \xi}{2} \cos \frac{ \xi}{2} \Delta \xi$.
Если сечение потока шариков равно $S$, то доля шариков, рассеянных на углы от $\xi$ до $\xi + \Delta \xi$ равна
$\frac{1}{S} \pi (a + b)^{2} \sin \frac{ \xi}{2} \cos \frac{ \xi}{2} \Delta \xi = \frac{1}{S} \Delta \sigma ( \xi, \Delta \xi)$.
Величину $\Delta \sigma$ называют сечением рассеяния. Имеем
$\Delta \sigma ( \xi, \Delta \xi ) = \frac{ \pi (a + b)^{2} }{2} \sin \xi \Delta \xi$.
Эту формулу полезно записать в несколько ином виде. Представим себе сферу единичного радиуса и отложим из центра этой сферы векторы, изображающие скорости рассеянных шариков. Тогда векторы, отвечающие шарикам, рассеянным в интервале углов от $\xi$ до $\xi + \Delta \xi$, «пронижут» нашу сферу по кольцу, показанному на рисунке. Средний радиус этого кольца приблизительно равен $\sin \xi$, а площадь (для малых $\Delta \xi$) $2 \pi \sin \xi \Delta \xi$. Обозначив эту площадь через $\Delta \Omega$, запишем
$\Delta \sigma ( \Delta \Omega) = \frac{(a+b)^{2}}{4} \Delta \Omega$.
Наш результат можно выразить словами: сечение рассеяния в направления, лежащие в некотором телесном угле, пропорционально величине этого угла. Заметим, что полное сечение рассеяния $\sigma$ на все углы ($\Omega = 4 \pi$) равно $\pi (a + b)^{3}$, что, конечно, вполне естественно.