2014-06-08
Из вершин правильного $n$-угольника $(n \geq 6)$ наугад выбираются две тройки различных точек. Какова вероятность того, что два треугольника, вершинами которых являются выбранные тройки, не пересекаются?
Решение:
Разобьем все возможные пары троек вершин на $C^{6}_{n}$ групп, собирая в одной группе те и только те пары троек, которые образуют одинаковые шестерки вершин. С одной стороны, каждая такая группа содержит столько элементов, сколькими способами можно разбить шестерку фиксированных вершин на две тройки, т.е. $C^{3}_{6} = 20$ элементов. С другой стороны, существует ровно 6 способов разбить шестерку на две тройки, удовлетворяющие требуемому в задаче условию. Поэтому искомая вероятность равна 6/20=0,3.