2014-06-08
Учителю и учащимся некоторого класса задаются вопросы. Вероятность того, что ответ учителя будет правильным, равна $\alpha$, а вероятность правильного ответа учащегося равна $\beta$ или $\gamma$ в зависимости оттого, кто отвечал - мальчик или девочка соответственно. Вероятность того, что ответ случайно выбранного учащегося совпадет с ответом учителя, равна 1/2. Найти отношение числа мальчиков к числу девочек в классе.
Решение:
Обозначим через $\delta$ вероятность того, что случайно выбранный учащийся даст правильный ответ. Вероятность совпадения ответа случайно выбранного учащегося с ответом учителя равна сумме вероятности $\alpha \delta$ правильного ответа обоих и вероятности $(1 - \alpha)(1 - \delta)$ неправильного ответа обоих. Поэтому условие задачи можно записать в виде
$\alpha \delta + (1 -\alpha)(1 - \delta) = 1/2$, или $(\alpha - 1/2)(\delta - 1/2) = 0$.
Если $\alpha = 1/2$, то это условие выполнено и отношение числа мальчиков к числу девочек в классе может быть любым. Предположим теперь, что $\alpha \neq 1/2$. Тогда $\delta = 1/2$. Обозначим через $x$ и $y$ соответственно число мальчиков и девочек в классе. Вероятность $\delta$ правильного ответа случайно выбранного учащегося класса равна сумме вероятности $(x/(x + y)) \beta$ того, что будет выбран мальчик и он даст правильный ответ, и вероятности $(y/(x + y)) \gamma$ того, что будет выбрана девочка и она даст правильный ответ. Таким образом, условие задачи имеет вид
$\frac{1}{2} = \frac{x}{x+y} \beta + \frac{y}{x+y} \gamma$ или $\left ( \beta - \frac{1}{2} \right ) x = \left ( \frac{1}{2} - \gamma \right ) y$
Поэтому, если $\beta = \gamma = 1/2$, то отношение числа мальчиков к числу девочек в классе может быть любым; если $\beta =1/2$, но $\gamma \neq 1/2$, то класс состоит только из одних мальчиков; если же $\beta \neq 1/2$, то отношение числа мальчиков к числу девочек в классе равно $(1 – 2 \gamma)/(2 \beta - 1)$ (разумеется, при условии, что указанная дробь неотрицательна).