2014-06-08
Три стрелка A, В, С решили одновременно драться на дуэли. Они расположились в вершинах равностороннего треугольника и условились о следующем: первый выстрел делает A, второй - B, третий - С и т. д. по кругу; если один из стрелков выбывает, то дуэль продолжается между двумя оставшимися. Известно, что стрелок A поражает цель с вероятностью 0,3, стрелок С - с вероятностью 0,5, а стрелок В вообще никогда не промахивается. Каждый стреляет в одного из двух других или в воздух с таким расчетом, чтобы с наибольшей вероятностью выиграть дуэль. Куда должен направить свой первый выстрел стрелок A: 1) в стрелка С; 2) в стрелка В: 3) в воздух?
Решение:
Рассмотрим три события, которые могут наступить после первого выстрела стрелка А.
1) Поражен С. Тогда с вероятностью 1 стрелок А будет поражен первым же выстрелом В.
2) Поражен В. Тогда: или с вероятностью 0,6 стрелок С поразит А своим первым выстрелом, или с вероятностью $0,5 \cdot 0,3$ стрелок А поразит С своим вторым выстрелом, или с вероятностью $0,5.\cdot 0,7.\cdot 0,5$ стрелок С поразит А своим вторым выстрелом, или с вероятностью $0,5 \cdot 0,7 \cdot 0,5 \cdot.0,3$ стрелок А поразит С своим третьим выстрелом и т.д. Следовательно, вероятность для А выиграть дуэль в этом случае равна
$0,5 \cdot 0,3 + 0,5 \cdot 0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,3 + 0,5 \cdot 0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,3 + \cdots = 0,15(1 + 0,35 + 0.35^{2} + \cdots) = 0,15 \frac{1}{1 – 0,35} = \frac{15}{100} \cdot \frac{100}{65} = \frac{3}{13}$.
3) Никто не поражен. После этого В будет стрелять в С (как в более меткого из своих противников) и поразит его. Затем А с вероятностью 0,3 поразит В, выиграв дуэль. Таким образом, самой выгодной для стрелка А является ситуация, когда после его выстрела никто не поражен. Значит, он должен первый раз стрелять в воздух.