2014-06-08
Строка $(i_{1}; i_{2}; \cdots; i_{n})$ составлена из $n > 3$ первых натуральных чисел, расположенных в случайном порядке. Какова вероятность того, что при всех $k = 1, 2, \cdots, n$ справедливо неравенство $i_{k} \geq k – 3$?
Решение:
Найдем количество строк $(i_{1}; \cdots; i_{n})$, для которых $i_{k} \geq k – 3$ при $k = 1, 2, \cdots, n$. Число $i_{n}$ может принимать четыре значения: $n, n-1, n-2, n-3$. Число $i_{n – 1}$ может принимать пять значений: $n, n-1, n-2, n-3, n-4$, за исключением того значения, которое уже занято числом $i_{n}$. Таким образом, число также может принимать 4 значения. Аналогично, каждое из чисел $i_{n-2}, \cdots, i_{4}$ может принимать 4 значения. Числа $i_{1}, i_{2}, i_{3}$ могут быть выбраны произвольным образом из трех значений, оставшихся после выбора чисел $i_{n}, \cdots, i_{4}$. Таким образом, среди всех $n!$ возможных строк имеется ровно $4^{n – 3} \cdot 3!$ строк, удовлетворяющих требуемому условию. Следовательно, искомая вероятность равна $4^{n-3} \cdot 3!/n!$.