2014-06-08
Точка движется по ребрам куба $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. Из любой вершины она может двигаться по одному из трех ребер (выходящих из этой вершины) наугад с одинаковой вероятностью, равной 1/3. Вершины $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ отличаются тем, что, попав в любую из них, точка уже никуда не движется. Если точка начинает движение из вершины A, то с какой вероятностью она: 1) остановится в вершине $B^{\prime}$ 2) остановится в вершине $C^{\prime}$; 3) никогда не попадет ни в вершину $B^{\prime}$, ни в вершину $C^{\prime}$?
Решение:
Заметим, что из любой вершины куба с вероятностью не меньшей чем 1/9 точка попадет в одну из вершин $B^{\prime}, C^{\prime}$ (ибо для любой вершины куба, отличной от $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$, существует маршрут, проходящий не более чем по двум ребрам и соединяющий ее с $B^{\prime}$ или $C^{\prime}$). Поэтому вероятность того, что за два хода точка не попадет ни в $B^{\prime}$, ни в $C^{\prime}$, не больше чем 1 - 1/9 = 8/9, а вероятность того, что за $2k$ ходов точка не попадет ни в $B^{\prime}$ ни в $C^{\prime}$, не больше чем $(8/9)^{k}$. Следовательно, вероятность того, что точка никогда не попадет ни в $B^{\prime}$, ни в $C^{\prime}$, не превосходит $(8/9)^{k}$ для любого $k \in \mathbf{N}$, а значит, равна 0. Итак, точка с вероятностью 1 попадет в $B^{\prime}$ или $C^{\prime}$. Далее, через $p$ обозначим вероятность того, что из $A$ точка попадет в $B^{\prime}$ (и, следовательно, с вероятностью $1 – p$ точка попадет из $A$ в $C^{\prime}$), а через $q$ - вероятность того, что из $B$ точка попадет в $B^{\prime}$ (и, следовательно, с вероятностью $1 – q$ точка попадет из $B$ в $C^{\prime}$). Из соображений симметрии вытекает, что вероятность того, что точка попадет из $D$ в $B^{\prime}$, равна $(1 - p)$ из $A^{\prime}$ в $B^{\prime}$ - $q$, а из $C$ или из $D^{\prime}$ в $B^{\prime} - (1 - q)$. Если точка находится в $A$, то с вероятностью 1/3 она попадет в $A^{\prime}$, с вероятностью 1/3 она попадет в $D$ и с вероятностью 1/3 она попадет в $B$. Поэтому вероятность $p$ того, что точка попадет из $A$ в $B^{\prime}$, равна
$\frac{1}{3} (1-p) + \frac{1}{3}q + \frac{1}{3}q$,
т. е. $4p – 2q = 1$. Аналогично, вероятность $q$ попадания точки из $B$ в $B^{\prime}$ равна $\frac{1}{3} + \frac{1}{3}(1-q) + \frac{1}{3}p$, т. е. $4q - p = 2$. Таким образом, $p = 4/7$, и искомая вероятность того, что точка остановится в вершине $B^{\prime}$, равна 4/7, а в вершине $C^{\prime} - 3/7$.