2014-06-08
Каждая из двух урн содержит белые и черные шары, причем общее число шаров в обеих урнах равно 25. Из каждой урны наугад вынимают по одному шару. Зная, что вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми, равна 0,54, найти вероятность того, что оба вынутых шара окажутся черными.
Решение:
Пусть общее количество шаров в первой и второй урнах равно $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно (для определенности считаем $m_{1} \leq m_{2}$), а количество белых шаров в этих урнах равно $k_{1}$ и $k_{2}$ соответственно. Тогда вероятность того, что оба вынутых шара белые, равна $(k_{1}/m_{1}) \cdot (k_{2}/m_{2})$. Получаем соотношения:
$\frac{k_{1}}{m_{1}} \cdot \frac{k_{1}}{m_{2}} = 0,54 = \frac{27}{50}, m_{1} + m_{2} = 25$.
Так как $27 m_{1}m_{2} = 50 k_{1} k_{2}$, то хотя бы одно из чисел $m_{1}, m_{2}$ делится на 5. Но сумма $m_{1} + m_{2}$ тоже делится на 5, поэтому каждое из чисел $m_{1}, m_{2}$ делится на 5. Таким образом, имеем всего две возможности: либо $m_{1} = 5, m_{2} = 20$, либо $m_{1} = 10, m_{2} = 15$. В случае $m_{1} = 5, m_{2} = 20$ получаем
$k_{1}k_{2} = 54$, где $0 \leq k_{1} \leq 5, 0 \leq k_{2} \leq 20$.
Перебрав все возможные значения $k_{1}$, найдем $k_{1} = 3, k_{2} = 18$. Тогда в первой урне 2 черных шара, во второй тоже 2 черных шара, и вероятность вытащить два черных шара равна $(2/5) \cdot (2/20) = 0,04$. Аналогично, в случае $m_{1} = 10, m_{2} = 15$ находим $k_{1} = 9, k_{2} = 9$. Тогда в первой урне 1 черный шар, во второй - 6 черных шаров, и вероятность вытащить два черных шара снова равна $(1/10) \cdot (6/15) = 0,04$ (в обоих случаях ответы одинаковы).