2014-06-07
Пусть непрерывная функция
$f: [0;1] \rightarrow [0; 1]$
дифференцируема на интервале $(0; 1)$, причем $f(0) = 0, f(1) = 1$, Доказать, что существуют такие числа $a, b \in (0; 1)$, что
$a \neq b$ и $f^{\prime}(a)f^{\prime}(b) = 1$.
Решение:
Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим функцию $g(x) = f(x) + x – 1$, определенную на отрезке $[0; 1]$. Так как она непрерывна (ибо $f(x)$ непрерывна), причем $g(0) = -1, g(1) = 1$, то существует такое число $c \in (0; 1)$, что $g(c) = 0$, т. е. $f (c) = 1 – c$. По теореме Лагранжа найдутся точки $a \in (0; c), b \in (c; 1)$, для которых
$f^{\prime} = \frac{f(c) – f(0)}{c}, f^{\prime} = \frac{f(1) – f(c)}{1 - c}$,
поэтому
$f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b) = \frac{1 - c}{c} \cdot \frac{c}{1 –c} = 1$.