2014-06-08
Последовательность $\{ a_{n} \}$ задана условием $a_{n} = a_{n-1}(a_{n-1} - 1)$. При каких $a_{1}$ она сходится?
Решение:
Покажем, что если при каком-нибудь $k 0 \leq a_{k} \leq 1$, то последовательность $\{ a_{n} \}$ сходится.
Если $0 \leq a_{k}leq 1$, то легко получить, что $- 1/4 \leq a_{k+1} \leq 0, 0 \leq a_{k+2} \leq 1, - 1/4 \leq a_{k+3} \leq 0, 0 \leq a_{k+4} \leq 1$ и т. д. Последовательность $\{ a_{k+2l} \}$ будет монотонно убывающей, так как
$a_{k+2l+2} – a_{k+2l} = (a_{k+2l+1})^{2} – a_{k + 2l +1} – a_{k+2l} = (a_{k+2l})^{4} – 2(a_{k+2l})^{3} = (a_{k+2l})^{3}(a_{k+2l} – 2) \leq 0$.
Поэтому существует предел $c = lim_{l \rightarrow \infty} a_{k+2l}$. Переходя к пределу при $l \rightarrow \infty$ в равенстве
$a_{k+2l+2} = a_{k+2l} + (a_{k+2l})^{4} – 2 (a_{k+2l})^{3}$
и учитывая, что $c \leq 1$, мы получаем $c = 0$. Но тогда
$lim_{l \rightarrow \infty} a_{k+2l+1} = lim_{l \rightarrow \infty} ((a_{k+2l})^{2} – a_{k+2l}) = c^{2} – c =0$,
т. е.
$lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$.
Покажем теперь, что последовательность $\{ a_{n} \}$ сходится, если при некотором $k: 0 \leq a_{k} \leq 2$. В этом случае $a_{k+1} \leq a_{k} \leq 2$. Если $a_{k+1} \geq 0$, то $a_{k+2} \leq a_{k+1} \leq 2$ и т. д. Поэтому либо последовательность $\{ a_{k+l} \}$ состоит из неотрицательных членов и является невозрастающей и, следовательно, имеет предел, либо при некотором $l \geq 1 a_{k+l} < 0 \leq a_{k+l-1}$. Но тогда $0 \leq a_{k + l - 1} \leq 1$ и, как было показано выше, в этом случае $lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$.
В частности, последовательность $\{ a_{n} \}$ сходится, если $0 \leq a_{1} \leq 2$.
Пусть теперь $- 1 \leq a_{1} < 0$. Тогда $0< a_{2}\leq 2$, и по доказанному выше снова последовательность $\{ a_{n} \}$ имеет предел.
Если же $a_{1} < -1$ или $a_{1} > 2$, то мы имеем
$a_{2} > 2, a_{3} – a_{2} = a_{2}(a_{2} - 2) > 0, a_{3} > a_{2} > 2$,
$a_{4} – a_{3} = a_{3}(a_{3} – a_{2}) > 0, a_{4} > a_{3} > 2$ и т. д.
Предположим, что существует $lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = c$. Тогда $c^{2} - c = 2$, т. е. $c=2$ или $c = 0$, что невозможно, так как $a_{n} \geq a_{2} > 2$ при $n \geq 2$. Поэтому последовательность $\{ a_{n} \}$ расходится.
Итак, $\{ a_{n} \}$ имеет предел тогда и только тогда, когда $- 1 \leq a_{1} \leq 2$.