2014-06-07
Пусть функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ определена следующим образом: $f(x) = 0$, если $x$ иррационально; $f(p/q) = 1/q^{3}$, если $p \in \mathbf{Z}, q \in \mathbf{N}$ и дробь $p/q$ несократима. Доказать, что эта функция дифференцируема в каждой точке $x = \sqrt{k}$, где $k$ - натуральное число, не являющееся квадратом целого числа.
Решение:
Пусть число $k \in \mathbf{N}$ не является квадратом целого числа. Покажем, что $f^{\prime}(\sqrt{k}) = 0$. Так как $\sqrt{k} \not \in \mathbf{Q}$, то $f (\sqrt{k}) = 0$, и остается доказать, что предел
$lim_{x \rightarrow \sqrt{k}} f(x) / (x - \sqrt{k})$
существует и равен 0. Возьмем произвольное $\varepsilon > 0$. Существует лишь конечное число дробей $p/q$ (всюду ниже $p \in \mathbf{Z}, q \in \mathbf{N}$), удовлетворяющих условиям
$0 < q < 1/\varepsilon$ и $| p/q - \sqrt{k}| < 1$.
Поэтому при некотором $\delta \in (0; 1)$ в интервале таких дробей нет совсем. Если $x = p/q \in I_{\delta}$, где $p/q$ - несократимая дробь, то
$q \geq 1 \varepsilon$ и $|\sqrt{k} + p/q| < \sqrt{k} + (\sqrt{k} + \delta) < 2 \sqrt{k} + 1$,
причем $| k q^{2} – p^{2}| \geq 1$ (ибо $kq^{2} – p^{2} \in \mathbf{Z} \backslash \{ 0 \}$, следовательно, имеем
$\left | \frac{f(x)}{x - \sqrt{k}} \right | = \left | \frac{f(p/q)}{p/q - \sqrt{k}} \right | = \frac{1}{q^{3}} \frac{ |\sqrt{k} + p/q|}{|k – p^{2}/q^{2}|} = \frac{1}{q} \frac{|\sqrt{k} + p/q|}{|q^{2}k – p^{2}|} < \varepsilon (2 \sqrt{k} + 1)$.
Если же число $x \in I_{\delta} \backslash \{ \sqrt{} \}$ иррационально, то $f(x) = 0$ и $|f(x)/(x - \sqrt{k})| = 0$. Утверждение доказано.