Последовательности $\{ p_{n} \}$ и $\{ q_{n} \}$ заданы следующим образом:
$p_{-1} = 0, q_{-1}=1, p_{0} = q_{0} = 1$,
$p_{n} = 2p_{n-1} + (2n-1)^{2}p_{n-2}$,
$q_{n} = 2q_{n-1} + (2n - 1)^{2} q_{n-2}$, при $n \geq 1$. Доказать, что $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{p_{n}}{q_{n}} = \frac{\pi}{4}$.
Подробнее
Множество натуральных чисел разбито на два бесконечных подмножества $A$ и $B$. Доказать, что для любого $c > 0$ существуют последовательности $\{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ такие, что $\{ a_{n} \} \subset A, \{ b_{n} \} \subset B, \{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ возрастают и $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = c$.
Подробнее
Пусть $\{ a_{n} \}$ - непериодическая последовательность, составленная из нулей, единиц и двоек. Построим две последовательности $\{ b_{n} \}$ и $\{ c_{n} \}$ следующим образом:
$b_{n} = 0$, если $a_{n} = 0$; $b_{n} = 1$, если $a_{n} = 1$ или $a_{n} = 2$;
$c_{n} = 1$, если $a_{n} = 2$; $c_{n} = 0$, если $a_{n} = 0$ или $a_{n} = 1$;
Доказать, что хотя бы одна из последовательностей $\{ b_{n} \}$ и $\{ c_{n} \}$ непериодична.
Подробнее
Имеется $n$ положительных чисел $a_{1}, \cdots, a_{n}$, причем $a_{1} = 1, a_{n} = 2$ и $a_{k} \leq \sqrt{a_{k-1}a_{k+1}}$ при $k = 2, 3, \cdots, n-1$. Найти $max_{1 \leq k \leq n} a_{k}$.
Подробнее
Последовательность $\{ x_{n} \}$ обладает свойством: $|x_{n} – x_{m}| > 1/n$ для любых $n < m$. Доказать, что последовательность неограниченна.
Подробнее
Пусть $\{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$ - последовательности действительных чисел и $\overline{lim}_{n \rightarrow \infty} a_{n} = \overline{lim}_{n \rightarrow \infty} b_{n} = \infty$. Доказать, что найдутся такие $m$ и $n$, что $| a_{m} – a_{n}| > 1$ и $|b_{m} – b_{n}| > 1$.
Подробнее
Ограниченная последовательность действительных чисел $\{ x_{n} \}$ удовлетворяет условию $lim_{n \rightarrow \infty} (x_{n} – 2x_{n+1} + x_{n+2}) = 0$. Доказать, что $lim_{ n \rightarrow \infty } (x_{n} – x_{n+1}) = 0$.
Подробнее
Пусть последовательность $\{ x_{n} \}$ действительных чисел такова, что для любого многочлена $P(x)$ второй степени с целыми неотрицательными коэффициентами выполнено равенство
$lim_{ n \rightarrow \infty } (x_{n} + x_{P(n)}) = 0$.
Следует ли отсюда, что $ lim_{ n \rightarrow \infty } x_{n} = 0$?
Подробнее
Пусть $f \in C(\mathbf{R})$. Всегда ли существуют непрерывные функции $g(x)$ и $h(x)$ такие, что для всех $x \in \mathbf{R}$
$f(x) =g(x) \sin x + h(x) \cos x$?
Подробнее
Какие из следующих функций на интервале (0, 1):
a) $f(x)= sgn (x - \frac{1}{2}$; б) $f(x) = \frac{1}{x}$, в) $f(x) = \sin \frac{1}{x}$ обладают свойством
$\forall x \in (0, 1) \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall y (|y – x| < \varepsilon, y \in (0,1) \Rightarrow |f(x) – f(y)| < \delta$?
Подробнее
Функция $f(x)$ определена на вещественной оси. Известно, что для любого $x$ и любого $h > 0$
$|f(x + h) – f(x-h)| < h^{2}$.
Доказать, что $f(x) \equiv const$.
Подробнее
Непрерывная функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ такова, что для любой арифметической прогрессии $a, b, c, d$
$|f(a) – f(d)| \geq \pi |f(b) – f(c)|$.
Доказать, что $f \equiv const$.
Подробнее
Пусть $\phi(t)$ и $\psi(t)$ - монотонно убывающие взаимно-обратные функции на $(0, + \infty)$.
Может ли при всех $t > 0$ выполняться неравенство $\phi(t) > \psi(t)$?
Подробнее
Пусть $f(x)$ - непрерывная функция на $\mathbf{R}$, принимающая значения разных знаков. Доказать, что найдется арифметическая прогрессия $a, b, c (a < b < c)$ такая, что $f(a) + f(b) + f(c) = 0$.
Подробнее
Пусть $f \in C[0, 1], f(0) = f(1) = 0$. Доказать, что найдутся точки $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ такие, что $f(x_{1}) = f(x_{2})$ и $x_{1} – x_{2}$ равно $\alpha$ или $1 - \alpha$, где $\alpha$ - данное число, $0 < \alpha < 1$.
Подробнее