2014-06-07
Доказать, что не существует непрерывной функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, обладающей следующим свойством: число $f(x)$ рационально при тех и только тех значениях $x \in \mathbf{R}$, при которых число $f(x + 1)$ иррационально.
Решение:
Пусть описанная в задаче функция $f(x)$ существует. Рассмотрим непрерывные функции
$g(x) = f(x+1) – f(x)$ и $h(x) = f(x+1) + f(x)$.
Они не могут быть одновременно постоянными, так как иначе функция ,$f(x) \equiv (h(x) – g(x))/2$ была бы постоянной. Пусть, например, $h(x)$ - не постоянная функция, т. е. существуют такие значения $x_{1}$ и $x_{2}$ для которых $h(x_{1}) < h(x_{2})$. Тогда существует рациональное число $r \in [h(x_{1}); h(x_{2})]$, и в силу непрерывности функции $h(x)$ найдется такое число $x_{0}$, что $h(x_{0}) = r$. Итак, $f(x_{0} +1) + f(x_{0}) = r$. Следовательно, числа $f(x_{0} + 1) и $f(x_{0})$ либо одновременно рациональные, либо одновременно иррациональные. Получили противоречие.