2014-06-07
Существует ли не равная константе функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющая для всех $x, y \in \mathbf{R}$ неравенству
$(f(x) – f(y))^{2} \leq |x - y|^{3}$?
Решение:
Из неравенства $(f(x) – f(y))^{2} \leq | x – y|^{3}$ при $x \neq y$ следует, что
$\left | \frac{f(x) – f(y)}{x - y} \right | \leq |x - y|^{1/2}$,
откуда
$lim_{x \rightarrow y} \left | \frac{f(x) – f(y)}{x - y} \right | = 0$
(так как $lim_{x \rightarrow y} |x - y|^{1/2} = 0$). Значит, функция $f(x)$ дифференцируема в каждой точке, причем $f^{\prime}(x) \equiv 0, x \in \mathbf{R}$. Следовательно, она может быть только константой.