2014-06-08
Пусть $c_{0} > 0, c_{1} > 0$ и $c_{n+1} = \sqrt{c_{n}} + \sqrt{c_{n-1}}$ при $n \geq 1$. Доказать, что последовательность $\{ c_{n} \}$ сходится, и найти ее предел.
Решение:
Рассмотрим последовательности $\{ a_{n} \}$ и $\{ b_{n} \}$, определенные следующим образом:
$a_{3} = min( c_{0}, c_{1}, 4), b_{0} = max(c_{0}, c_{1}, 4)$,
$a_{n} = 2 \sqrt{a_{n-1}}, b_{n} = 2 \sqrt{b_{n-1}}$ при $n \geq 1$.
Легко показать, что
$a_{0} \leq a_{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq 4, b_{0} \geq b_{1} \geq b_{2} \geq \cdots \geq 4$.
Проверим индукцией по $n$, что $a_{n} \leq min(c_{2n}, c_{2n+1})$. При $n = 0$ это следует из определения $a_{0}$. Пусть утверждение верно для $n – 1$, т. е. $a_{n-1} \leq c_{2n-2}, a_{n-1} \leq c_{2n-1}$. Тогда
$c_{2n} = \sqrt{c_{2n-1}} + \sqrt{c_{2n-2}} \geq 2 \sqrt{a_{n-1}} = a_{n}$,
$c_{2n+1} = \sqrt{c_{2n}} \ sqrt{c_{2n-1}} \geq \sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n-1}} \geq 2 \sqrt{a_{n-1}} = a_{n}$;
индуктивный переход установлен.
Аналогично доказывается, что $b_{n} \geq max (c_{2n}, c_{2n+1})$.
Неравенства
$a_{n} \leq min (c_{2n}, c_{2n+1}) \leq max (c_{2n}, c_{2n+1}) \leq b_{n}$
перепишем в виде
$a_{n} \leq c_{2n} \leq b_{n}, a_{n} \leq c_{2n+1} \leq b_{n}$.
Легко проверить, что $lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = 4$; отсюда следует, что $ lim_{n \rightarrow \infty} c_{2n} = lim_{n \rightarrow \infty} c_{2n+1} = 4$, т. е. $ lim_{n \rightarrow \infty} c_{n} = 4$.