2014-06-08
Последовательность $\{x_{n} \} \subset \mathbf{R}$ имеет конечный предел $a \in \mathbf{R}$. Доказать, что
$\bigcap_{\alpha > 0} \bigcup_{\beta > 0} \bigcap_{n > \beta}(x_{n} - \alpha, x_{n} + \alpha) = \{ a \}$.
Решение:
Будем переписывать условие $a = lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ в равносильном виде:
$a = lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} \Leftrightarrow \forall \alpha > 0 \exists \beta > 0 \forall n > \beta |a – x_{n}| < \alpha \Leftrightarrow \forall \alpha > 0 \exists \beta > 0 \forall n > \beta a \in (x_{n} - \alpha, x_{n} + \alpha) \Leftrightarrow \forall \alpha > 0 \exists \beta > 0 a \in \bigcap_{n > \beta} (x_{n} - \alpha, x_{n} + \alpha) \Leftrightarrow \forall \alpha > 0 a \in \bigcup_{\beta>0} \bigcap_{n > \beta} (x_{n} - \alpha, x_{n} + \alpha) \Leftrightarrow a \in \bigcap_{\alpha > 0} \bigcup_{\beta > 0} \bigcap_{n > \beta} (x_{n} - \alpha, x_{n} + \alpha)$,
что и требовалось доказать.