Пусть $f(x)$ - непрерывная, строго возрастающая положительная функция на $(0, + \infty)$, причем $lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{xln(x)} = 1$. Обозначим через $\phi(x)$ функцию, обратную к $f(x)$, т. е. такую, что для каждого положительного $x \phi(f(x)) = x$.
Доказать, что
$ lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\phi(x)}{x/ln(x)} = 1$.
Подробнее
Пусть $f$ и $g$ - определенные на всей числовой прямой периодические функции. Известно, что $lim_{x \rightarrow + \infty} (f(x) - g(x)) = 0$. Доказать, что $f(x) equiv g(x)$.
Подробнее
Непрерывная функция $f(x)$ выпукла вниз и $f(0)=0$. Доказать, что при $x > 0$ функция $f(x)/x$ возрастает.
Подробнее
Построить функцию, непрерывную на $[0, 1]$ и имеющую в каждой точке $y$ образа либо 1, либо 3 прообраза, причем некоторая точка $y$ имеет 3 прообраза.
Подробнее
Существует ли непрерывная функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ такая, что при рациональном $x \: f(x)$ иррационально, а при иррациональном $x \: f(x)$ рационально?
Подробнее
Число $y \in \mathbf{R}$ называется экстремальным значением функции $f$, если существует точка $x_{0}$ такая, что $f(x_{0}) = y$ и $x_{0}$ - точка локального максимума или минимума функции $f$. Доказать, что множество экстремальных значений непрерывной функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ не более чем счетно.
Подробнее
Функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ такова, что $|f(a) – f(b)| < |a - b|$ для любых $a \neq b$. Доказать, что если $f(f(f(0))) = 0$, то $f(0) = 0$.
Подробнее
Дифференцируема ли в нуле функция $f(x) = \sqrt[3]{e^{x} – 1 – x - \frac{x^{2}}{2}}$? (Мы считаем, что $\sqrt[3]{-u} = - \sqrt[3]{u}$ при $u > 0$.)
Подробнее
Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на $[0, 1], f^{\prime}(0) = 1$ и $f^{\prime}(1) = 0$. Доказать, что $f^{\prime}(x) = c$ в некоторой точке $c \in (0, 1)$.
Подробнее
Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0, 1]$ и дифференцируема на интервале $(0, 1)$. Доказать, это если $f(0) = f(1) = 0$, то $f^{\prime}(x) = f(x)$ в некоторой точке $x \in (0, 1)$.
Подробнее
Функции $f$ и $g$ непостоянны на интервале $(a, b)$. Для каждой точки $x \in (a, b)$ выполняются условия $f(x) + g(x) \neq 0, f(x)g^{\prime}(x) – f^{\prime}(x)g(x) = 0$. Доказать, что $g(x)$ отлична от нуля для всех $x \in (a, b)$ и отношение $f(x)/g(x)$ постоянно на $(a, b)$.
Подробнее
Функция $f$, дифференцируемая в точке $x_{0}$, называется выпуклой (вогнутой) в этой точке, если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$, что для любой точки $x \in U$ имеет место неравенство $f(x) \geq f(x_{0}) + f^{\prime}(x_{0})(x – x_{0})$ (соответственно $f(x) \leq f(x_{0}) + f^{\prime}(x_{0})(x – x_{0})$.
Доказать, что любая функция, дифференцируемая на отрезке, выпукла или вогнута хотя бы в одной внутренней точке этого отрезка.
Подробнее
Пусть $a(x)$ - непрерывно дифференцируемая функция, $a(x) \geq 1, f(x)$ имеет непрерывную вторую производную, $f(0) = f^{\prime}(0) = 0$ и $(af^{\prime})^{\prime}(x) + f(x) \geq 0$ для всех $x$. Доказать, что $f(\sqrt{2}) \geq 0$ (все функции определены на ( $- \infty, + \infty)$).
Подробнее
Существует ли нелинейная функция, определенная на всей действительной оси, имеющая производные всех порядков и такая, что при любом натуральном $n$ ее $n$-я производная всюду по модулю не превосходит $1/2^{n}$?
Подробнее
а) Пусть функция $f(x) n$ раз непрерывно дифференцируема на отрезке $[a, b]$ и имеет на нем не менее $n$ нулей (с учетом кратности). Доказать, что
$max_{x \in [a,b]} |f(x)| \leq \frac{(b-a)^{n}}{n!} max_{x \in [a, b]} |f^{(n)}(x)|$.
б) Функция $f(x) \in C^{2} [0, 1]$ имеет не менее двух нулей на отрезке $[0, 1]$ (с учетом кратности) и, кроме того, $|f^{\prime \prime}(x)| \leq 1$ для всех $x \in [0, 1]$. Как велико может быть число
$max_{x \in [0, 1]} |f(x)|$?
Подробнее