Пусть $S$ - линейное подпространство в $L^{\infty}[0, 1], M$ - положительное число. Известно, что для любой функции $f \in S$ выполняется неравенство
$\| f \|_{L^{\infty}} \leq M \| f \|_{L^{2}}$.
Доказать, что $dim S \leq M^{2}$.
Подробнее
Пусть $f: \mathbf{R}^{m} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ - такое непрерывное отображение, что
$sup_{x,y \in \mathbf{R}^{m}} \| f(x+y) – f(x) – f(y) \| < \infty$.
Доказать, что существует единственное линейное отображение $g: \mathbf{R}^{m} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ такое, что
$sup_{x \in \mathbf{R}^{m}} \| f(x) – g(x) \| < \infty$.
Подробнее
Функция $f(x, y)$ непрерывна вместе со своими производными по $x$ и по $y$ и удовлетворяет условиям: $f(0,0) = 0, |\partial f / \partial x| \leq 2|x - y|, |\partial f / \partial y| \leq 2|x - y|$. Доказать, что $| f(5, 4)| \leq 1$.
Подробнее
Пусть $F$ - поверхность в $\mathbf{R}^{3}$, заданная уравнением $z = f(x, y), f \in C^{2}(\mathbf{R}^{2})$. Доказать, что если в некоторой точке ($x_{0}, y_{0}$) выполнено неравенство $f_{xx}^{\prime \prime}f_{yy}^{\prime \prime} > 0$, то найдется окрестность точки $M_{0}(x_{0}, y_{0}, f(x_{0}, y_{0}))$, в которой поверхность $F$ и касательная плоскость $P$ в точке $M_{0}$ имеют лишь одну общую точку.
Подробнее
Пусть $f(x, y) \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{2})$ и $\alpha > 0$ - иррациональное число. Доказать, что если $f(x, x^{\alpha}) = o(x^{n}) (x \rightarrow 0 + )$ при любом $n \in \mathbf{N}$, то и $f(x, y) = o(|x|^{n} + |y|^{n}) (x, y \rightarrow 0)$ при любом $n \in \mathbf{N}$.
Подробнее
Обозначим через $M$ график функции $y = |x|$ (будем рассматривать $M$ как подмножество $\mathbf{R}^{2}$). Через $C^{\infty}(M)$ обозначим кольцо функций на $M$, являющихся ограничениями функций из $C^{\infty}(\mathbf{R}^{2})$. Доказать, что не существует $\mathbf{R}$ -линейного изоморфизма колец $C^{\infty}(M)$ и $C^{\infty}(\mathbf{R})$.
Подробнее
Привести пример функции переменных $x$ и $y$, дважды непрерывно дифференцируемой по каждому переменному в области $U = \{(x, y) : x^{2} + y^{2} < 1 \}$ и не имеющей смешанной производной в точке (0, 0).
Подробнее
Пусть $Q$ - линейное отображение из $C^{\infty}(\mathbf{R}^{n})$ в $\mathbf{R}$. Известно, что если $f \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{n}), f(0) = 0$ и $f(x) \geq 0$ -в некоторой окрестности нуля, то $Q(f) \geq 0$. Доказать, что найдутся числа $a_{ij}, b_{i}, c (i, j \in \{1, 2, \cdots, n \})$ такие, что для любой функции $f \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{n})$
$Q(f) = \sum_{i,j = 1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (0) + \sum_{i = 1}^{n}b_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) + cf(0)$.
Подробнее
Найти
$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} max (x_{1}, \cdots, x_{n}) dx_{1} \cdots dx_{n}$.
Подробнее
Пусть $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ - непрерывная неотрицательная функция и $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$. Обозначим
$I_{n}(r) = \underset{x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} \leq r^{2}}{\int \cdots \int} f(x_{1}) \cdots f(x_{n}) dx_{1} \cdots dx_{n}$
Подробнее
Доказать, что для любой непрерывной функции $u(x)$, не равной нулю тождественно и такой, что $\int_{- \infty}^{\infty} |u(x)| dx < \infty$, выполняется неравенство
$\int_{-infty}^{\infty} \int_{-infty}^{\infty} e^{-(x - y)^{2}} u(x)u(y) dxdy > 0$.
Подробнее
Дана бесконечная числовая последовательность $\{a_n \}$. Известно, что $lim_{n \rightarrow \infty} \left ( a_{n+1} - \frac{a_n}{2} \right ) = 0$. Докажите, что $lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$.
Подробнее
Рассмотрим последовательность чисел $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^n$. Каждое из них приводится к виду
$x_n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$,
где $q_n, r_n, s_n, t_n$ - целые числа. Найдите пределы
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac {r_n}{q_n}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac {s_n}{q_n}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac {t_n}{q_n}$.
Подробнее