2014-06-08
Доказать, что последовательность $\{ x_{n} \}$, заданная условием $x_{n+1} = x_{n} + \frac{x_{n}^{2}}{n^{2}}$ при $n \geq 1$, где $0 < x_{1} < 1$, ограничена.
Решение:
Имеем:
$x_{2} < 2x_{1}, x_{3} = x_{2} + \frac{x_{2}^{2}}{4} < 2x_{1} + x_{1}^{2} < 3x_{1}, \cdots, x_{n} < nx_{1}, \cdots$
Отсюда следует, что при некотором $m$ справедливо неравенство $x_{m} < m – 1$. Далее,
$\frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x_{n+1}} = \frac{x_{n}^{2}/n^{2}}{x_{n}x_{n+1}} < \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n-1)}$,
поэтому при $n > m$
$\frac{1}{x_{m}} - \frac{1}{x_{n}} = \left (\frac{1}{x_{m}} - \frac{1}{x_{m+1}} \right ) + \left (\frac{1}{x_{m+1}} - \frac{1}{x_{m+2}} \right ) + \cdots + \left (\frac{1}{x_{n-1}} - \frac{1}{x_{n}} \right ) < \frac{1}{m(m-1)} + \frac{1}{(m+1)m} + \cdots + \frac{1}{(n-1)(n-2)} = \left (\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m} \right ) + \left ( \frac{1}{m} - \frac{1}{m+1} \right ) + \cdots + \left (\frac{1}{n - 2} - \frac{1}{n - 1} \right ) = \frac{1}{m - 1} - \frac{1}{n-1} < \frac{1}{m - 1}$,
$\frac{1}{x_{n}} > \frac{1}{x_{m}} - \frac{1}{m-1} > 0$
и
$x_{n} < \frac{1}{1/x_{m} – 1/(m-1)}$.
Так как правая часть последнего неравенства не зависит от $n$, то последовательность $\{ x_{n} \}$ ограничена.