Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3388
2019-06-03 
В магазине три этажа, перемещаться между которыми можно только на лифте. Исследование посещаемости этажей магазина показало, что с начала рабочего дня и до закрытия магазина:
1) из покупателей, входящих в лифт на втором этаже, половина едет на первый этаж, а половина - на третий;
2) среди покупателей, выходящих из лифта, меньше трети делает это на третьем этаже.
На какой этаж покупатели чаще ездили с первого этажа - на второй или на третий?
Комментарий. До открытия и после закрытия покупателей в магазине не было. Покупатели перемещаются между этажами только на лифте.
Решение:
Первый способ. Предположим, что за весь день на первом этаже в лифт вошло $x$ покупателей, на втором - $у$, на третьем - $z$. Заметим, что количество покупателей, вышедших из лифта на каждом из этажей в течение дня, равно количеству покупателей, вошедших на этом же этаже в течение дня.
По условию, из покупателей, вошедших на втором этаже, половина едет вниз, а половина - вверх. Значит, со второго этажа на третий приехало $y/2$ покупателей, и столько же со второго на первый. Второе условие можно записать так: $z < \frac{x + y + z}{3}$, или $2z < x + y$.
С первого этажа на третий было совершено $z - \frac{y}{2}$ поездок, так как всего на третьем этаже вышли из лифта $z$ человек, а $y/2$ из них приехали со второго этажа. А с первого на второй поднимались те покупатели, входившие в лифт на первом этаже, кто не ехал на третий, т. е. $x - \left ( z - \frac{y}{2} \right )$. Для решения задачи требуется сравнить эти два выражения
$z - \frac{y}{2}$ ? $x - \left ( z - \frac{y}{2} \right )$.
Прибавив к каждому из них $z + \frac{y}{2}$, мы получим \
$z - \frac{y}{2} + z + \frac{y}{2}$ ? $x - \left ( z - \frac{y}{2} \right ) + z + \frac{y}{2}$
или
$2z$ ? $x + y$.
Но $2z < x + y$. Значит, $z - \frac{y}{2} < x - \left ( z - \frac{y}{2} \right )$. То есть с первого этажа на третий за этот день приехало меньше покупателей, чем с первого на второй.
Второй способ. Обозначим через $n_{12}$ количество поездок с первого этажа на второй. Аналогично определим числа $n_{13}, n_{21}, n_{23}, n_{31}, n_{32}$. Все поездки разобьем на три группы: поездки на третий этаж $(n_{13} + n_{23})$, поездки с третьего этажа $(n_{31} + n_{32})$ и поездки между первым и вторым этажом $(n_{12} + n_{21})$. По условию задачи, первая группа составляет менее трети всех поездок. С другой стороны, она количественно равна второй, так как число покупателей, приехавших на третий этаж, равно числу уехавших с третьего этажа. Значит, последняя группа - самая большая:
$(n_{31} + n_{32}) = (n_{13} + n_{23}) < (n_{12} + n_{21})$.
Подставляя в это неравенство $n_{21} = n_{23}$, получим $n_{13} < n_{12}$: с первого этажа чаще ездили на второй, нежели на третий.
Ответ: С первого на третий этаж за этот день приехало меньше покупателей, чем с первого на второй.
В магазине три этажа, перемещаться между которыми можно только на лифте. Исследование посещаемости этажей магазина показало, что с начала рабочего дня и до закрытия магазина:
1) из покупателей, входящих в лифт на втором этаже, половина едет на первый этаж, а половина - на третий;
2) среди покупателей, выходящих из лифта, меньше трети делает это на третьем этаже.
На какой этаж покупатели чаще ездили с первого этажа - на второй или на третий?
Комментарий. До открытия и после закрытия покупателей в магазине не было. Покупатели перемещаются между этажами только на лифте.
Решение:
Первый способ. Предположим, что за весь день на первом этаже в лифт вошло $x$ покупателей, на втором - $у$, на третьем - $z$. Заметим, что количество покупателей, вышедших из лифта на каждом из этажей в течение дня, равно количеству покупателей, вошедших на этом же этаже в течение дня.
По условию, из покупателей, вошедших на втором этаже, половина едет вниз, а половина - вверх. Значит, со второго этажа на третий приехало $y/2$ покупателей, и столько же со второго на первый. Второе условие можно записать так: $z < \frac{x + y + z}{3}$, или $2z < x + y$.
С первого этажа на третий было совершено $z - \frac{y}{2}$ поездок, так как всего на третьем этаже вышли из лифта $z$ человек, а $y/2$ из них приехали со второго этажа. А с первого на второй поднимались те покупатели, входившие в лифт на первом этаже, кто не ехал на третий, т. е. $x - \left ( z - \frac{y}{2} \right )$. Для решения задачи требуется сравнить эти два выражения
$z - \frac{y}{2}$ ? $x - \left ( z - \frac{y}{2} \right )$.
Прибавив к каждому из них $z + \frac{y}{2}$, мы получим \
$z - \frac{y}{2} + z + \frac{y}{2}$ ? $x - \left ( z - \frac{y}{2} \right ) + z + \frac{y}{2}$
или
$2z$ ? $x + y$.
Но $2z < x + y$. Значит, $z - \frac{y}{2} < x - \left ( z - \frac{y}{2} \right )$. То есть с первого этажа на третий за этот день приехало меньше покупателей, чем с первого на второй.
Второй способ. Обозначим через $n_{12}$ количество поездок с первого этажа на второй. Аналогично определим числа $n_{13}, n_{21}, n_{23}, n_{31}, n_{32}$. Все поездки разобьем на три группы: поездки на третий этаж $(n_{13} + n_{23})$, поездки с третьего этажа $(n_{31} + n_{32})$ и поездки между первым и вторым этажом $(n_{12} + n_{21})$. По условию задачи, первая группа составляет менее трети всех поездок. С другой стороны, она количественно равна второй, так как число покупателей, приехавших на третий этаж, равно числу уехавших с третьего этажа. Значит, последняя группа - самая большая:
$(n_{31} + n_{32}) = (n_{13} + n_{23}) < (n_{12} + n_{21})$.
Подставляя в это неравенство $n_{21} = n_{23}$, получим $n_{13} < n_{12}$: с первого этажа чаще ездили на второй, нежели на третий.
Ответ: С первого на третий этаж за этот день приехало меньше покупателей, чем с первого на второй.
