Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3386
2019-06-03 
Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рис. одного радиуса, треугольник равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника - диаметр окружности). Какой из головастиков имеет большую площадь?
Решение:
Первый способ. Наложим одного головастика на другого как показано на рис. а. Нетрудно проверить, что если отрезать от первого головастика заштрихованные сегменты, и повернуть их вокруг точек $A_1$ и $B_1$ на $180^{\circ}$, то получится в точности второй головастик. Значит, головастики имеют одинаковую площадь.
Второй способ. Можно провести и более формальное доказательство, без использования наглядных аргументов (хотя первое доказательство тоже засчитывалось на олимпиаде как верное). Пусть площадь круга равна $S_{кр}$, а площадь равностороннего треугольника со стороной, равной диаметру окружности, равна $S_{тр}$. Так как треугольник $O_1O_2O_3$ равносторонний (рис. б), его углы равны $60^{\circ}$; кроме того, длина его стороны равна диаметрам исходных окружностей, поэтому его площадь равна $S_{тр}$. Значит, площадь каждого из заштрихованных секторов на рис. б, равна $S_{кр}/6$, а площадь закрашенной части равна
$S_{тр} - 3 \cdot \frac{S_{кр}}{6} = S_{тр} - \frac{S_{кр}}{2}$.
Поэтому площадь второго головастика равна $S_{кр} + S_{тр} - S_{кр}/2 = S_{тр} + S_{кр}/2$ и равна площади первого головастика.
Ответ: Площади головастиков равны.
Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рис. одного радиуса, треугольник равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника - диаметр окружности). Какой из головастиков имеет большую площадь?
Решение:
Первый способ. Наложим одного головастика на другого как показано на рис. а. Нетрудно проверить, что если отрезать от первого головастика заштрихованные сегменты, и повернуть их вокруг точек $A_1$ и $B_1$ на $180^{\circ}$, то получится в точности второй головастик. Значит, головастики имеют одинаковую площадь.
Второй способ. Можно провести и более формальное доказательство, без использования наглядных аргументов (хотя первое доказательство тоже засчитывалось на олимпиаде как верное). Пусть площадь круга равна $S_{кр}$, а площадь равностороннего треугольника со стороной, равной диаметру окружности, равна $S_{тр}$. Так как треугольник $O_1O_2O_3$ равносторонний (рис. б), его углы равны $60^{\circ}$; кроме того, длина его стороны равна диаметрам исходных окружностей, поэтому его площадь равна $S_{тр}$. Значит, площадь каждого из заштрихованных секторов на рис. б, равна $S_{кр}/6$, а площадь закрашенной части равна
$S_{тр} - 3 \cdot \frac{S_{кр}}{6} = S_{тр} - \frac{S_{кр}}{2}$.
Поэтому площадь второго головастика равна $S_{кр} + S_{тр} - S_{кр}/2 = S_{тр} + S_{кр}/2$ и равна площади первого головастика.
Ответ: Площади головастиков равны.
