Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3389
2019-06-03 
Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной $n$, разделенная бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок - треугольник со стороной 1, - победитель. Тот, кто не может сделать ход, досрочно проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
После первого хода всегда образуется равнобедренная трапеция. Посмотрим какие фигуры могут образоваться на последующих ходах при правильной игре.
Пусть на каком-то ходу один из игроков (назовем его $А$) получил шоколадку в форме равнобедренной трапеции с меньшим основанием $a$ и большим основанием $b$ (длина боковой стороны такой трапеции равна $b - a$). Если $А$ отломит треугольник, сторона которого меньше, чем $b - a$, то другой игрок (назовем его $Б$) отломит треугольник со стороной 1, и у игрока $А$ не будет возможности сделать ход и он проиграет (рис. а). Следовательно, в этой ситуации он должен отломать треугольник со стороной $b - a$. После этого хода остается параллелограмм, длины сторон которого равны $a$ и $b - a$.
Пусть игрок получил шоколадку в форме параллелограмма со сторонами $a$ и $b$, причем $a < b$. Тогда по аналогичным соображениям он должен отломать треугольник со стороной $a$. После этого хода остается равнобедренная трапеция с основаниями $b - a$ и $b$.
Таким образом, если в некоторый момент один из игроков получил шоколадку в форме параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ ($a < b$), то через два хода он получит шоколадку в форме параллелограмма со сторонами $a$ и $b - a$.
Если же один из игроков получил параллелограмм с равными сторонами (т. е. ромб), то после его хода образуется треугольник (рис. б).
Теперь приведем выигрышную стратегию для второго игрока при простом $n$: ему достаточно каждый раз отламывать кусок наибольшего размера. Покажем, что эта стратегия приводит $к$ выигрышу. Пусть первый игрок отломал треугольник со стороной $k$. После хода второго игрока образовался параллелограмм со сторонами $k$ и $n - k$. Эти числа взаимно просты, так как $n$ - простое число. Далее, после каждого хода второго игрока будет получаться параллелограмм (пока в конце концов не получится ромб). Длины сторон этого параллелограмма взаимно просты (если $k$ и $n$ взаимно просты, то $k$ и $n - k$ тоже взаимно просты, см. факт 5). Значит, длины сторон ромба тоже взаимно просты. Но это означает, что получится ромб со стороной 1! Первый будет вынужден отломать от него треугольник со стороной 1, после чего второй выигрывает.
Если $n = 1$, то первый уже выиграл. Пусть теперь число $n$ составное. Обозначим через $p$ любой простой делитель числа $n$ (см. факт 10). Пусть первый сначала отломает треугольник со стороной $p$, а потом каждый раз отламывает самый большой кусок. Через некоторое время второй игрок получит треугольник со стороной $p$ и, как было разобрано выше, через несколько ходов проиграет.
Ответ: Если число $n$ является простым, то выигрывает второй игрок, иначе выигрывает первый игрок.
Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной $n$, разделенная бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок - треугольник со стороной 1, - победитель. Тот, кто не может сделать ход, досрочно проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?
Решение:
После первого хода всегда образуется равнобедренная трапеция. Посмотрим какие фигуры могут образоваться на последующих ходах при правильной игре.
Пусть на каком-то ходу один из игроков (назовем его $А$) получил шоколадку в форме равнобедренной трапеции с меньшим основанием $a$ и большим основанием $b$ (длина боковой стороны такой трапеции равна $b - a$). Если $А$ отломит треугольник, сторона которого меньше, чем $b - a$, то другой игрок (назовем его $Б$) отломит треугольник со стороной 1, и у игрока $А$ не будет возможности сделать ход и он проиграет (рис. а). Следовательно, в этой ситуации он должен отломать треугольник со стороной $b - a$. После этого хода остается параллелограмм, длины сторон которого равны $a$ и $b - a$.
Пусть игрок получил шоколадку в форме параллелограмма со сторонами $a$ и $b$, причем $a < b$. Тогда по аналогичным соображениям он должен отломать треугольник со стороной $a$. После этого хода остается равнобедренная трапеция с основаниями $b - a$ и $b$.
Таким образом, если в некоторый момент один из игроков получил шоколадку в форме параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ ($a < b$), то через два хода он получит шоколадку в форме параллелограмма со сторонами $a$ и $b - a$.
Если же один из игроков получил параллелограмм с равными сторонами (т. е. ромб), то после его хода образуется треугольник (рис. б).
Теперь приведем выигрышную стратегию для второго игрока при простом $n$: ему достаточно каждый раз отламывать кусок наибольшего размера. Покажем, что эта стратегия приводит $к$ выигрышу. Пусть первый игрок отломал треугольник со стороной $k$. После хода второго игрока образовался параллелограмм со сторонами $k$ и $n - k$. Эти числа взаимно просты, так как $n$ - простое число. Далее, после каждого хода второго игрока будет получаться параллелограмм (пока в конце концов не получится ромб). Длины сторон этого параллелограмма взаимно просты (если $k$ и $n$ взаимно просты, то $k$ и $n - k$ тоже взаимно просты, см. факт 5). Значит, длины сторон ромба тоже взаимно просты. Но это означает, что получится ромб со стороной 1! Первый будет вынужден отломать от него треугольник со стороной 1, после чего второй выигрывает.
Если $n = 1$, то первый уже выиграл. Пусть теперь число $n$ составное. Обозначим через $p$ любой простой делитель числа $n$ (см. факт 10). Пусть первый сначала отломает треугольник со стороной $p$, а потом каждый раз отламывает самый большой кусок. Через некоторое время второй игрок получит треугольник со стороной $p$ и, как было разобрано выше, через несколько ходов проиграет.
Ответ: Если число $n$ является простым, то выигрывает второй игрок, иначе выигрывает первый игрок.
