Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3376
2019-06-03 
Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в черный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества черных точек также были подобны друг другу (возможно с различными коэффициентами подобия).
Решение:
Рассмотрим такую раскраску квадрата: впишем круг в квадрат и покрасим в черный цвет точки квадрата, лежащие вне круга; впишем в полученный круг квадрат со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата. Покрасим в белый цвет точки круга, лежащие вне «маленького» квадрата. По такому же правилу раскрасим маленький квадрат и т. д. (рис. а). Заметим, что мы считаем граничные точки лежащими «внутри» фигуры. Таким образом, граница каждого квадрата покрашена черным, за исключением четырех точек касания вписанного в квадрат круга, а граница каждого круга - белым, за исключением четырех вершин квадрата, вписанного в этот круг.
Пусть сторона исходного квадрата равна $а$, тогда сторона маленького квадрата равна $\frac{a}{ \sqrt{2}}$. Следовательно, длины сторон квадратов стремятся к 0. Поэтому все точки, кроме центра, будут покрашены. Центр покрасим в черный цвет.
Очевидно, что можно множеству квадрат (второе получается из первого гомотетией с центром в центре квадрата и с коэффициентом $\frac{1}{ \sqrt{2}}$). А множество белых точек квадрата просто совпадает с множеством белых точек вписанного в него круга (рис. б).
Ответ: Можно.
Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в черный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества черных точек также были подобны друг другу (возможно с различными коэффициентами подобия).
Решение:
Рассмотрим такую раскраску квадрата: впишем круг в квадрат и покрасим в черный цвет точки квадрата, лежащие вне круга; впишем в полученный круг квадрат со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата. Покрасим в белый цвет точки круга, лежащие вне «маленького» квадрата. По такому же правилу раскрасим маленький квадрат и т. д. (рис. а). Заметим, что мы считаем граничные точки лежащими «внутри» фигуры. Таким образом, граница каждого квадрата покрашена черным, за исключением четырех точек касания вписанного в квадрат круга, а граница каждого круга - белым, за исключением четырех вершин квадрата, вписанного в этот круг.
Пусть сторона исходного квадрата равна $а$, тогда сторона маленького квадрата равна $\frac{a}{ \sqrt{2}}$. Следовательно, длины сторон квадратов стремятся к 0. Поэтому все точки, кроме центра, будут покрашены. Центр покрасим в черный цвет.
Очевидно, что можно множеству квадрат (второе получается из первого гомотетией с центром в центре квадрата и с коэффициентом $\frac{1}{ \sqrt{2}}$). А множество белых точек квадрата просто совпадает с множеством белых точек вписанного в него круга (рис. б).
Ответ: Можно.
