Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестеренок так, чтобы углы между сцепленными шестеренками были не меньше $150^{\circ}$? При этом:
1) для простоты шестеренки считаются кругами;
2) шестеренки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;
3) угол между сцепленными шестеренками - это угол между радиусами их окружностей, проведенными в точку касания;
4) первая шестеренка должна быть сцеплена со второй, вторая - с третьей, и т. д., 61-я - с первой, а другие пары шестеренок не должны иметь общих точек.
Подробнее
Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
Подробнее
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым две партии: одну белыми фигурами, другую - черными. По окончании турнира оказалось, что все набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.
Подробнее
Двое играют в следующую игру: первый выписывает в ряд по своему желанию буквы $А$ или $Б$ (слева направо, одну за другой; по одной букве за ход), а второй после каждого хода первого меняет местами любые две из выписанных букв или ничего не меняет (это тоже считаться ходом). После того, как оба игрока сделают по 1999 ходов, игра заканчивается. Может ли второй играть так, чтобы при любых действиях первого игрока в результате получился палиндром (т. е. слово, которое читается одинаково слева направо и справа налево)?
Подробнее
В соревнованиях по $n$-борью участвуют $2^n$ человек. Для каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде программы, и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина принимает участие в следующем виде, и половина из них выходит в следующий круг, и т. д., пока в $n$-м виде программы не будет определен победитель. Назовем спортсмена «возможным победителем», если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.
а) докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является «возможными победителями»;
б) докажите, что всегда число «возможных победите¬лей» не превосходит $2^n - n$;
в) докажите, что может так случиться, что «возможных победителей» ровно $2^n - n$.
Подробнее
$2n$ радиусов разделили круг на $2n$ равных секторов: $n$ синих и $n$ красных. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до $n$. В красные сектора, начиная с некоторого, записываются те же числа и таким же образом, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до $n$.
Подробнее
Для чисел $1, \cdots, 1999$, расставленных по окружности, вычисляется сумма произведений всех наборов из 10 чисел, идущих подряд. Найдите расстановку чисел, при которой полученная сумма наибольшая.
Подробнее
На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину квадрата и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до вершины. Сможет ли кузнечик попасть в лунку?
Подробнее
Граф - это набор вершин, причем некоторые из них соединены ребрами (каждое ребро соединяет ровно две вершины графа). Раскраска вершин графа называется правильной, если вершины одного цвета не соединены ребром. Некоторый граф правильно раскрашен в $k$ цветов, причем его нельзя правильно раскрасить в меньшее число цветов. Докажите, что в этом графе существует путь, вдоль которого встречаются вершины всех $k$ цветов ровно по одному разу.
Подробнее
Докажите, что первые цифры чисел вида $2^{2^{n}}$ образуют непериодическую последовательность.
Подробнее
В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5 % избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов (т.е. если одна из партий набрала в $x$ раз больше голосов, чем другая, то и мест в парламенте она получит в $x$ раз больше). После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов «против всех» и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25 % голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить? (Ответ объясните.)
Подробнее
В колоде часть карт лежит «рубашкой вниз». Время от времени Петя вынимает из колоды пачку из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат «рубашкой вниз», переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет ее в то же место колоды. Докажите, что в конце концов все карты лягут «рубашкой вверх», как бы ни действовал Петя.
Подробнее
Какое наибольшее число коней можно расставить на доске $5 \times 5$ клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других? (Приведите пример и объясните, почему больше коней расставить нельзя.)
Подробнее
Гриша записал в клетки шахматной доски числа $1, 2, 3, \cdots, 63, 64$ в некотором порядке. Он сообщил Лёше только сумму чисел в каждом прямоугольнике из двух клеток и добавил, что 1 и 64 лежат на одной диагонали. Докажите, что по этой информации Лёша может точно определить, в какой клетке какое число записано.
Подробнее
Система укреплений состоит из блиндажей. Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причем из любого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовем систему надежной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (т. е. такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих передвижений).
а) Докажите, что система укреплений, изображенная на рис., надежна.
б) Найдите все надежные системы укреплений, которые перестают быть надежными после разрушения любой из траншей.
Подробнее
